例6 有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要 8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？
解：设乙的工作量为60份（15与20的最小公倍数），张每天完成4份，李每天完成3份. 8天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作（60-4×8）份.由张、李合作需要 （60-4×8）÷（4+3）=4（天）. 8+4=12（天）.
答：这两项工作都完成最少需要12天.
这一节的多数例题都进行了“整数化”的处理.但是，“整数化”并不能使所有工程问题的计算简便.例8就是如此.例8也可以整数化，当求出乙每 有一点方便，但好处不大.不必多此一举. 变式训练
1、某工程先由甲单独做40天，再由乙做28天可以完成.现在甲乙合做35天就完成了.如果先由甲单独做30天，再由乙接着做，乙还要工作多少天才能完成？ 2、
二、多人的工程问题 （我们说的多人，至少有3个人，当然多人问题要比2人问题复杂一些，但是解题的基本思路还是差不多）
例9 一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成？ 解：设这件工作的工作量是1.
1111??甲、乙、丙三人合作每天完成 （364560）?2=30
111??减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成 304590
答：甲一人独做需要90天完成.
例10 某项工作，甲组3人8天能完成工作，乙组4人7天也能完成工作.问甲组2人和乙组7人合作多少时间能完成这项工作？ 解一：设这项工作的工作量是1.
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甲组每人每天能完成 乙组每人每天能完成
甲组2人和乙组7人每天能完成 答：合作3天能完成这项工作.
二、多人的工程问题
例11一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？ 解：甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=6（天）.
说明甲做了2天，乙做了2×3=6（天），丙做2×6=12(天），三人一共做了 2+6+12=20（天）. 答：完成这项工作用了20天.
本题整数化会带来计算上的方便.12，18，24这三数有一个易求出的最小公倍数72.可设全部工作量为72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.总共用了
例12一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天？
解：丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，与乙做4天一样.也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.
他们共同做13天的工作量，由甲单独完成，甲需要 答：甲独做需要26天.
例13 制作一批零件，甲车间要10天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成.乙车间与丙车间一起做，需要8天才能完成.现在三个车间一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个.问丙车间制作了多少个零件？ 解一：仍设总工作量为1.
111??乙的工效：61015
117??丙的工效：815120
7??111??????4?81512?三人合作完成需要的天数：（天）
7
112?4??4?1515 甲车间比乙车间多做的分率：102总工作量：240015=18000（个）
?7?4丙车间的个数：18000?（120）=4200（个）
答：丙车间制作了4200个零件.
例14 搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时.有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？
解：设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量2，所需时间是 答：丙帮助甲搬运3小时，帮助乙搬运5小时.
解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化，设搬运一个仓库全部工作量为 60.甲每小时搬运 6，乙每小时搬运 5，丙每小时搬运4. 三人共同搬完，需要
60 × 2÷ （6+ 5+ 4）= 8（小时）. 甲需丙帮助搬运
（60- 6× 8）÷ 4= 3（小时）. 乙需丙帮助搬运
（60- 5× 8）÷4= 5（小时）.
三、水管问题
从数学的内容来看，水管问题与工程问题是一样的.水池的注水或排水相当于一项工程，注水量或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的问题，不过是工作量有加有减罢了.因此，水管问题与工程问题的解题思路基本相同. 例15 甲、乙两管同时打开，9分钟能注满水池.现在，先打开甲管，10分钟后打开乙管，经过3分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟多注入0.6立方米水，这个水池的容积是多少立方米？
11?3?3 两管齐开3分钟所注水量：91?单开甲管10分钟所注的水量：
12?33
8
21?10?15 甲管的工效：3112??乙管工效：91545
2??10.6??????1545?27（立方米） 蓄水池容积：
答：水池容积是27立方米.
课后练习提升
1. 做一件工程，甲独做需要12小时完成，乙独做需要18小时完成，甲乙合做1小时后，
然后由甲工作1小时，再由乙工作1小时，??两人如此交替工作，完成任务还需多少时间？
2. 加工一批零件，甲、乙两人合做1小时，完成了这批零件的
1小时，又完成了
11，乙、丙两人接着生产6031，甲、丙又合做2小时，完成了.剩下的任务，甲、乙、丙三人203合做，还要多少小时完成？
3. 甲、乙两人从两地出发相对而行，甲走完全程要8小时，乙走完全程要6小时.两人同
时出发1.5小时后，乙返回出发点用半小时取东西后再出发.乙再出发后过几小时两人相遇？
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4. 原计划用24个工人挖一定数量的土方，按计划工作5天后，因为调走6人，于是剩下
的工人每天比原定工作量多挖1方土才能如期完成任务.原计划每人每天挖土多少方？
5. 甲、乙两项工程分别由一、二队来完成.在晴天，一队完成甲工程需要12天，二队完成
乙工程需要15天；在雨天，一队的工作效率要下降40％，二队的工作效率要下降10％.结果两队同时完成这两项工程，那么，在施工的日子里，雨天有多少天？
6. 加工同一个零件，王师傅需要2小时，工人小张需要3小时，工人小李需要4小时，现
在有这种零件143个，如果三个人同时加工，各要加工多少个零件才能同时完成任务？
7. 师徒三人合作承包一项工程，4天能够全部完成.已知师傅单独做所需的天数与两个徒弟
合作做所需的天数相等；而师傅与乙徒弟合作做所需的天数的2倍与甲徒弟单独做完所
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小升初数学完整版工程问题
