江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（192）（无答案）
第一试
一、填空题（每小题8分，共64分）
1. 已知数列?an?、?bn?、?cn?均为等差数列，且a1?b1?c1?0,a2?b2?c2?1.则
a2015?b2015?c2015?.
2y2?1的右焦点作直线l与双曲线交于A、B两点.若实数?使得2. 过双曲线x?2 AB??的直线l恰有三条，则??.
3. 一个4?4?h的长方体能装下8个半径为1的小球和1个半径为2的大球.则h的最小 值为.
4. 已行集合A??1,2,3?，f、g为集合A到A的函数.则函数的像集交为空的函数对
(f,g)的个数为.
5. 已知f(x)?(x?3x?2)2cos?x.则所有满足等式
?logk?1n10f(k)?1的n的和
为.
6. 存在正整数数对(a,b)满足
k(a?b)??a,b?的正整数k的个数为 2015（?a,b?表示正整数与的最小公倍数）.
21，乙获胜的概率为.337. 已知甲、乙两人进行一种博弈游戏，甲获胜的概率为
若其中一人比另一人多赢两局，则游戏结束.那么，需要进行的游戏局数的数学期望为.
8. 已知P为抛物线y2?2x上的动点，点B、C在y轴上，(x?1)2?y2?1是?PBC的内切圆.则S?PBC的最小值为.
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二、解答题（共56分）
9.（16分）求所有的正实数k，使得对于任意正实数a、b、c，均有
10.（20
an?abkc???2. b?cc?aa?b分）已知实数
a0,a1,L,a2015,b0,b1,L,b2015，满足
112n?2?an?1,bn?2n?2?bn?1，其中，n?1,2,L,2015.若a0?b2015，6510092015k?1且b0?a2015，求以下表达式的值?(akbk?1?ak?1bk).
11.（20分）z1、z2、z3为多项式P(z)?z3?az?b的三个根，满足
z1?z2?z3?250，且复平面上的三点z1、z2、z3恰构成一个直角三角形.求该直
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222角三形的斜边的长度.
加 试
一、（40分）如图1，?ABC的内切圆分别与边BC、CA、AB切于点D、E、F，AD与BE交于点P，设点P关于直线EF、FD、DE的对称点分别X、Y、Z.证明：直线AX、BY、CZ三线共点.
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二、（40分）在锐角?ABC中，证明：
(sinA?sinB?sinC)??1?sinA?1sinB?1??111?sinC??????A?B?C??.
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4 - ①
三、（50分）求最大的正整数n，使得对于任意整数a，若(a,n)?1，均有
a2?1(modn).
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四、(50分)在一次数学竞赛中，某些选手是朋友关系.记所有选手的集合为X，对集合X的子集Y，若可以将这些人两两分组，且每组中两名选手均是朋友关系，则称子集Y“可两两分组”.已知集合X不可两两分组，且对于任意选手A、B?X，若A、B不是朋友关系，则X﹨?A,B?可两两分组，且X中没有一个人与其他所有人均为朋友关系.证明：对任意选手a、b、c?X，若a、b为朋友关系，b、c为朋友关系，则a、c也为朋友关系.
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