5.3.2灰色模型求解
设X(0)为原始数据，为了使其成为有规律的时间序列数据，对原始数据作一次累加生成运算，从而得到新的生成数列X?1?一般近似地服从指数规律。 则生成的离散形式的微分方程具体的形式为
dx?ax?u (10) dt即表示变量对于时间的一阶微分方程是连续的。求解上述微分方程，解为
x(t)?ce?a(t?1)?u (11) a1)?当t=1时，x(t)?x(1)，即c?x(u，则可根据上述公式得到离散形式微分方程a的具体形式为
x?t???x?1????u??a?t?1?u? (12) ?ea?adxx(t??t)?x(t)?lim dt?t?0?tdx?lim(x(t??t)?x(t)) dt?t?1dx?x(1)(t?1)?x(1)(t) dt当?t足够小时，变量x从x(t)到x(t??t)是不会出现突变的，所以取x(t)与
x(t??t)的平均值作为当?t足够小时的背景值，即x(1)?1(1)?x(t)?x(1)(t?1)???将其2值带入式子，整理得
1(1)(1)x(t)?x(t?1)??u (13) x(0)(t?1)??a???2由其离散形式可得到如下矩阵：
1(1)??(1)???x(1)?x(2)???2??x(0)(2)???1?(0)????x(1)(2)?x(1)(3)??x(3)???a????u 2???????????????x(0)(n)????1(1)?(1)???x(n?1)?x(n)????2??(0)(0)(0)x(2),x(3),??,x(n)?令 Y????
T9
1(1)?(1)1????x(1)?x(2)???2?????1?x(1)(2)?x(1)(3)??1?? B??2???????1(1)?(1)???x(n?1)?x(n)??1??2?????au?
称Y为数据向量，B为数据矩阵，?为参数向量. 则上式可简化为线性模型：
Y?B? (14) 由最小二乘估计方法得：
?1T?a?T??????BB?BY (15)
?u??1T上式即为GM(1,1)参数a,u的矩阵辨识算式，式中?BTB?BTY事实上是数据矩阵
B的广义逆矩阵。
将求得的a，u值代入微分方程的解式，则
?1?u?a(t?1)u?? (16) x(t)?(x(1)?)eaa其中，上式是GM(1,1)模型的时间响应函数形式，将它离散化得
?(t)??x x(1)??(0)u?u(1)??e?a(t?1)? (17)
a?a??1??t?再作累减生成可进行预测. 即 对序列x
b(x) (18) B通过利用MATLAB编程求得a,u，将a,u的值代入微分方程的时间响应函数， 5.3.3灰色模型的检验
?(1)(1),x(1)(0)模型求出各时刻值，然后常用的方法是回带检验，即分别用x求相对误差。结果如表所示：
表4：精度检验实测值、残差值表 GM计算值实测值残差 相对残差?(0)(k?1) xx(0)(k?1) e(0)(k?1) q(0)(k?1) 10
119.25 120.7097 119.9481 119.1913 118.4393 119.25 120.22 120.56 119.45 118.06 0 0.4897 -0.6119 -0.2587 0.3793 0 0.0041 -0.0051 -0.0022 0.0032 从残差检验结果看，平均相对误差为0.003，误差较小，累计生成数列曲线拟合较好，可以用来预测。
表5：2006-2038年的出生性别比预测值
年份 预测值 实际值 年份 预测值 年份 预测值 2006 0 119.25 2017 113.3065 2028 105.6863 2007 120.7097 120.22 2018 112.5916 2029 105.0195 2008 119.9481 120.56 2019 111.8812 2030 104.3569 2009 119.1913 119045 2020 111.1753 2031 103.6985 2010 118.4393 118.06 2021 110.4739 2032 103.0442 2011 117.6921 2022 109.7769 2033 102.3941 2012 116.9495 2023 109.0843 2034 101.7480 2013 116.2117 2024 108.3961 2035 101.1061 2014 115.4785 2025 107.7122 2036 100.4682 2015 114.7499 2026 107.0326 2037 99.8343 2016 114.0259 2027 106.3573 2038 99.2044 从预测数据可以看出我国出生性别比呈下降趋势，到2038年下降到99.2044。考虑到在这几十年内人们的生育观念难以发生彻底的改变，而GM(1,1)模型没有考虑到实际情况，所以在现行人口政策没有改变的情况下，可以利用GM(1,1)进行未来十年的预测。
5.4基于韦伯分布的生育率数学模型
根据总和生存率与年龄生育率的关系,妇女的年龄生育率的数学表达式可设为 x0。其中B为总和生育率, g(x)为特定的生育模式b(x)为妇女年龄别生育率,
X为生育年龄,这里假设X取值范围为15到49。
因为任何随机分布函数的积分值为1,所以需要对年龄别生育率的统计数据进行标准化处理,用累计(分胎次)年龄别生育率除以累计(分胎次)的总和生育率,使其和为1,这样得到的标准化的年龄别生育率不会改变其本身的分布特点。反映到图示上中,就等同于以同一比例缩小或放大年龄别生育率曲线。将妇女年龄
b(x)b(x)?g(x)。别生育率的数学形式b(x)?B?g(x)变形为式中就是指标准化的BB年龄别生育率,这个统计数据是已知的。
用韦伯分布的数学形式表示生育模式为：
g(x)?a?b(x?x0)b?1?e[?a(x?x0)b] （19）
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其中x0为初始生育年龄，也定为x0=14，参数a和b决定了生育模式的形状。画出韦伯分布的拟合图：
图7：韦伯分布的拟合图
根据韦伯分布的数学表达式可预测出未来的生育率。 5.5差分方程模型
根据问题一中建立的差分方程我们可预测出各个年龄阶段的人数占总人口数的比值。所以可预测人口抚养比、老年人抚养比和青壮年、少年、老年人系数的变化趋势。
所以在没有实行二胎政策时，人口抚养比、老年人抚养比和青壮年、少年、老年人系数的变化趋势为：
图8：计划生育政策下中国未来人口结构预测图
由上图可知：少年儿童人口系数有个平稳的下降,这可能由于人口政策并没有完全放开的原因;青壮年人口系数持续下滑至2038年的60%左右,之后直到2060年都维持在该水平;老年人口系数在2041年达到峰值，之后一直维持在一
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个水平;人口抚养比也是在未来50年内持续走高,2060年达到72. 23%;人口性别比变化幅度较大，从2040-2045年出生人口性别比达到最低，在1的附近，在2050年之后逐渐回升，2060年达到1.02。
当2013年实行二胎政策后，人口抚养比、老年人抚养比和青壮年、少年、老年人系数的变化趋势为：
图9：2013年实行二胎政策下中国未来人口结构预测图
将图8与图7做对比可知：在2013年实行二胎政策后青壮年人口系数下降较平缓；少年儿童人口系数有个较小幅度的升高，2030-2040年是一个平稳期，变化较平缓，2040年之后则逐渐升高；老年人口系数不再是一直上升，而是在2036年达到高峰，之后则下降；老年人口抚养比跟老年人口系数变化趋势相似，在2037年达到顶峰，之后呈下降趋势；人口性别比变化较平缓，这与实行二胎政策有直接的关系。
当2014年实行二胎政策后，人口抚养比、老年人抚养比和青壮年、少年、老年人系数的变化趋势为：
图10：2014年实行二胎政策下中国未来人口结构预测图
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基于计划生育政策的调整的数学模型
