基于计划生育政策的调整的数学模型 

的选择，最终导致出生人口性别比例被“人为性”破坏失调。下图为自1949年至2012年的性别比例趋势折线图，通过折线图来具体说明我国性别比例问题。

1261241221201181161141121101081061980198519901995200020052010

图3：1980-2010年性别比例折线图

由图可知：查阅资料得知正常性别比例在103：100左右。自1978年以来，随着以控制出生人口数量为主要内容的生育政策在全国范围内实施后，我国出生人口性别比例明显升高。1985年以来除了个别年份以外，出生人口性别比均超过了112，明显的偏离了正常的性别比值，且从总的趋势上看男女性别比值仍呈增长趋势。

出生人口性别比失衡带来的婚姻挤压、性别透支和人口结构失衡等严重社会问题，给人口安全、社会稳定带来巨大隐患，影响中国人口与经济、社会、资源、环境协调和可持续发展，甚至影响民族的繁荣和社会的长治久安。 5.1.3人口红利

中国经济“增长奇迹”源于多种因素，“人口红利”是其中最重要的因素【5】。中国处于人口红利期时，经济取得了巨大的进步。所谓的人口红利期是指生育率迅速下降，少儿抚养比例下降，总人口中适龄劳动人口比重上升，而老年人口比例达到较高水平之前形成的一个劳动力资源相对丰富的时期。但是中国人口红利到底能持续多久或者是否已经消失，根据人口红利的定义，我们就通过用劳动人口占总人口比例的变化表示人口红利的变化，确定人口红利的变化趋势。

根据上述数据可得到以下劳动人口占总人口比例年度变化的折线图：

4

74.57473.57372.57271.57170.5702000200220042006200820102012

图4：2000-2011年劳动人口占总人口比例年度变化折线图

根据上图可知我国的人口红利大致一直处于增长趋势，但是在2010年出现了一个拐点，所以为了解释这个问题，我们建立差分方程模型来预测接下来几十年劳动人口占总人口比例的变化趋势，进而较精确的说明人口红利在现在及未来的发展趋势。

（1） 差分方程模型

首先先建立差分方程模型，然后得出各年龄阶段人口的增长状况，最后求出每年年龄段在15-59岁的人口数与总的人口数，算出二者的比值，通过比值画出人口红利的变化曲线图，根据图像进行分析。

将人群按年龄大小等间隔地分成n个年龄组，比如每10岁或每5岁为1个年龄组。与年龄的离散化相对应，时间也离散为时段，并且时段的间隔与年龄区间大小相等，即以10年或5年为1个阶段。

人口是通过女性个体的生育而增长的，所以用女性数量的变化为研究对象比较方便，下面提到的人口数量均指其中的女性。

记时段k第i年龄组的人群数量xi(k),k?0,1,2,...,i?1,2,...n，第i年龄组的生育率为bi，第i年龄组的死亡率为di，生存率为si，si?1?di，我们假设bi和di不随时段k变化，在稳定的环境下这个假设是合理的。xi(k)的变化规律由以下的基本事实得到：时段k?1第一年龄组人口数量是时段k各年龄组生育数量之和，即

xi(k?1)??bixi(k) （4）

i?1n时段k?1第i?1年龄组的人口数量是时段k第i年龄组生存下来的数量，即 xk?1(k?1)?sixi(k),i?1,2,...,n?1 （5） 计时段k种群按年龄组的分布变量为：

x(k)?[x1(k),x2(k),x3(k),x4(k)]T （6）

5

由生育率bi和生存率si构成的矩阵

?b1b2b3b4??s000?1? （7） L?? ?...s20...???0...s03??则（4）、（5）可表为

x(k?1)?Lx(k),k?0,1,2,... （8） 当矩阵L和按年龄组的初始分布向量x(0)已知时，可以预测任意时段k人群按年龄组的分布为

x(k)?Lkx(0),k?1,2,... （9） （2）模型验证

由上式（9）可知只要知道t=1时的人口数据就能依次得到以后每年各个年龄段的人口数据，这样进而可以预测年龄在15-59岁的劳动人口数量，我们将年龄分为4组，将全国人口分为0-14、15-49、50-59、60-90四个年龄阶段，此时有

?b1?sL??1?0??0b20s20b3b4?00?? 00??s30?根据中国统计年鉴查得2000-2008的数据出生率bi及死亡率di，通过死亡率求得生存率si。

表1：2000-2008年出生率和生存率数据

年2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 份 1.403 1.338 1.286 1.241 1.229 1.246 12.09 12.10 12.14 bi si 93.55 93.57 93.59 94.00 93.58 93.49 93.19 93.07 92.94 这样我们就可以通过2000年的数据得到15-59岁预测数据以及通过数据的拟合得到的图（单位：万）

表2：2000-2008年的劳动人口真实值与预测值及平均相对误差

6

年份 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 平均 误差 真实13807 14736 15204 15355 15536 15717 16080 16364 数据 0.0159 预测13872 14181 15149 15661 15817 15871 16296 16695 数据 由上表经过计算知道平均相对误差为0.0159，说明该模型起到了较好的效果，符合人口发展规律，所以我们用该模型预测各年龄段的人口数量，从而得出15-59岁劳动人口数，以及总人口人数，算出比值即得到每年的人口红利数据，画图分析人口红利趋势。

相关运算过程借助MATLAB实现，如下图即为预测的未来人口红利变化趋势图。

0.690.680.670.660.650.640.632010201520202025203020352040

图5：预测的人口红利变化趋势图

根据预测出的人口红利趋势图可知：人口红利在2010-2015年呈增长趋势，在2015年左右达到顶峰，在2015年之后，如果不采取任何措施我国人口红利将呈现急剧下降的趋势，将不利于经济的发展，对我国经济带来巨大的损失。 5.1.4老龄化问题

老龄社会是指老年人口占总数人口达到或超过一定的比例的人口结构模型。按照联合国的传统标准是一个地区60岁以上老人达到总人口的10%，新标准是65岁以上老人达到总人口的7%【3】。

那我国现今的状况如何，老龄化程度怎样，我们用近几年65岁以上老年人占总人数的比例来说明。

表3：2000-2011年我国65岁以上老年人占总人口的比例

年2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 份 比7 7.1 7.3 7.5 7.6 7.7 7.9 8.1 8.3 8.5 8.9 9.1 例 由表中数据可知：我国2000年65岁以上老人达到总人口的比例已经达到7，并一直呈现增长趋势。并且到2011年比例已经高达9.1，超出标准2.1个百分

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点，说明我国已经在2000年达到了老龄社会，并且老龄化程度还会继续加大。

为了更加明确的说明问题，我们预测接下来的20年65岁以上老年人占总人口的比例，用以说明我国老龄化程度的变化趋势。

根据建立的动态差分方程模型，可预测数老年人的人口数，然后根据预测出的老年人口数，画出老龄化趋势图，进行分析。

0.4 65岁以上占%0.350.30.25 比率0.20.150.10.050 2010201520202025203020352040 年份图6：2010-2040年老龄化趋势图

根据图像或者函数表达式可知：我国人口老龄化呈递增趋势。并预测出到2030年我国老龄化已经超过20%，并将一直增长下去，所以我国到20年后将成为高度老龄化国家。

造成上述原因可分为两方面：1、人口生育率急剧和大幅度下降2、死亡率的下降和寿命的延长。第一方面与我国计划生育政策有关，第二个方面得益于经济社会的发展、疾病的控制、卫生条件和生活质量的快速提升。

人口高度老龄化使我国的养老负担迅速增加，我国对离退休职工支出额增加即抚养老人费用增多，将会导致社会总储蓄减少，进而使社会总投资下降，最终影响经济的持续增长。 5.2结论

通过对人口红利、人口老龄化、生育率和出生性别比例的分析，我们得出人口红利在2015年将会下降，人口老龄化程度继续加重，生育率持续降低，出生性别比例不平衡程度继续加深，这种变化趋势最终会影响我国经济的发展。所以我国的生育政策急需调整，也就是说目前很有必要开放二胎政策。 5.3基于灰色GM(1,1)模型的出生性别比

从图3中可以看出,出生性别比的变化趋势没有什么具体的规律可循,呈现一定的小范围波动,它受经济、社会、政策等多方面因素的复杂交互影响,所以有规律的定量分析并不是很好。我们采用灰色GM(1,1)模型和定性分析相结合的方法进行预测。

5.3.1灰色GM(1,1)简介

灰色系统是指信息数据不明确的系统,灰色系统预测模型的构建原理是将 已知的部分数据序列输入到系统中,通过某种线性或非线性的转换来预测未来 指标的变化情况,在这个阶段中遵循某种规则,反复修正结果,最终得到比较明 朗的变化规律,GM(1,1)模型是在灰色系统预测中应用最为广泛的一种模型。

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