量子力学习题集及答案

由天下分享时间：2025/1/5 15:01:38 加入收藏我要投稿点赞

09光信息量子力学习题集

一、填空题

1． 2． 3．

设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125A ）。

索末菲的量子化条件为（ ?pdq?nh ），应用这量子化条件求得一维谐振子的能级En?（ n?? ）。

德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（电）子衍

??射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ E??? ）和（ p??k ）。

???r?=（三维空间自由粒子的归一化波函数为?pp?r1? ）， e3/2(2??)i???4．

?5．

???????r?d??（ ?(p??p) ）???p。 p??r???????(r)?动量算符的归一化本征态?p（ ??（ ?(p??p) ）。

p?r?1*???(r)?(r)d?? ），??ep?p?(2??)3/2?i??6．

t=0时体系的状态为??x,0???0?x??2?2?x?，其中?n?x?为一维线性谐振子的定态波函数，则??x,t??（ ?0(x)ei??t2?2?2(x)e5i??t22

）。

7．

按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w=（ ? ），几率流密度j=

i?*???????* ）。 2??2???的设?(r)描写粒子的状态，?(r)是（粒子的几率密度），在?(r)中F（

8．

????dx平均值为F=（ ??*F9．

*。 ???dx ）

波函数?和c?是描写（同一）状态，?ei?中的ei?称为（相因子），

ei?不影响波函数?的归一化，因为（ ei??1 ）。

10． 11．

定态是指（能量具有确定值）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为

零）的状态。

EE?(x,t)??1(x)exp(?i1t)??2(x)exp(?i2t)是定态的条件是

??（ E1?E2 ），这时几率密度和（几率密度）都与时间无关。（粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象）称为隧道效应。（无穷远处波函数为零）的状态称为束缚态，其能量一般为（分立）谱。

3．t=0时体系的状态为??x,0???0?x???3?x?，其中?n?x?为一维线性谐振子的定态波函数，则??x,t??（ ?0(x)ei??t212． 13． 14．

??3(x)e7i??t2 ）。

15．粒子处在0?x?a的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为

22?2?2?2sinx ）（），第一激发态的波函数为（。 2aa?a16．基态是指（能量最低）的状态，写出一维线性谐振子的基态波函数：（ N0e??22x/2 ）。

17．

3一维线性谐振子的第一激发态的能量为（ ?? ）、第一激发态的波函数

2为（ N12?xe??18． 19． 20． 21． 22．

22x/2 ）。

（对应于同一本征值的本征函数的数目）称为简并度，不考虑电子自旋

时，氢原子的第n个能级的简并度为（ n2 ）。一维无限深势阱第n个能级的简并度为（ 1 ），不考虑电子自旋时，氢原

2子的第n个能级的简并度为（ n ）。

一维线性谐振子第n个能级的简并度为（ 1 ），考虑电子自旋以后，氢原

2子的第n个能级的简并度为（ 2n ）。

氢原子的状态为R32(r)Y21(?,?)，角动量平方是（ 6?2 ）、角动量z分量是（ ? ）。

?的定义是：对于两任意函数?和?, 等式厄密算符F*??dx?(F（ ??*F???)?dx ）成立。

23． 24．

25． 26．

27． 28．

力学量算符的本征值必为（实数），力学量算符的属于两个不同本征值的本征态必（相互正交）。

力学量算符的属于（不同本征值）的本征函数必相互（正交）。量子力学中，力学量算符都是（厄米）算符，力学量算符的本征函数组成（完全）系。

?z=算符在其自身表象中的矩阵为（对角）矩阵，例如在?z表象中??10?（ ?。 ?0?1?? ）

???]=0，?存在组成?2，L?的?，G?，G如果[F则F（完全）系的共同本征态，LZ共同本征态是（ Ylm(?,?) ）。

?存在有组成（完全）系的共同本征态，则[F?]=（ 0 ）?，G?，G如果F， ?2，L?的共同本征态是（ Y(?,?) ）L。 lmZ29． 30． 31． 32．

对易子[dx? ）?,L?]?（ ?i?L，[L。 ,e]?（ ex ）zyxdx? ）?,L?]?（ i?L?y]?（ 0 ）?x]?（ i? ）[x,p，[x,p，[L。 zxy[d?x?y]?（ i? ）?x]?（ 0 ）,e]?（ ?e?x ）。[y,p，[y,p。

dx能量与时间的测不准关系是（ ?E?t~? ），x和px的测不准关系是

（ ?x??p33．

____2____2x?2? ）。 4在一维情况下，若粒子处于状态?(x,t)中，则在动量表象中的波函数为

??C(p,t)?（ ??(x,t)e??i?px?。 dx ）

34．

35．

36． 37． 38． 39． 40．

?的本征态?n(x)的迭加态?(x)?3?(x)?4?(x)一维线性谐振子处在H2455?表象中一维线性谐振子的波函数为??=（（0，0，3/5，0，中，则在H-4/5，0,…））。

斯特恩—革拉赫证实电子具有（自旋）角动量，它在任何方向上投影只

??能取两个值（）和（ ? ）。

22???????x??y???y??x=（ 2i??z ）?，S?S=（ i?S ）。 ?2,L?]=（ 0 ）?x??y???y??x=（ 0 ）?，[L。 z?cos???s?在sz表象中，粒子处在自旋态???中，=（。 cos2? ）z?sin??2???cos??在?z表象中，粒子处在自旋态???。 ?sin???中，?x=（ sin2? ）?????01?2?1????在sz表象中，sx??，则在状态中，=（）。 ??sx????22?1?2?10?41．全同性原理的内容是：（在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互代换

不引起物理状态的改变）。

42．泡里原理的内容是：（不能有两个或两个以上的费密子处于同一状态）。 43．描写电子体系的波函数只能是（反对称）波函数，而电子体系的自

旋波函数则可以是（对称）或者（反对称）的。

44．电子是（费密）子，服从（费密-狄拉克）统计，描写电子体系的波

函数只能是（反对称）波函数。

45．描写玻色子体系的波函数只能是（对称）波函数，而玻色子体系的自旋

波函数则可以是（对称）或者（反对称）的。

46．描写费密子体系的波函数只能是（反对称）波函数，而费密子体系的自

旋波函数则可以是（对称）或者（反对称）的。

47．光子是（玻色）子，服从（玻色-爱因斯坦）统计，描写光子体系的

波函数只能是（对称）波函数。

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二、计算、证明题

?0,0?x?a1．粒子在一维势场U(x)??中运动，试从薛定谔方程出发求出

??,x?a,x?0?粒子的定态能级和归一化波函数.

解：当x?0,x?a,U??,?(0)?0

22?d???E?????E?. 当0?x?a,H22?dx2?Ed22??k??0 令k? 得 22?dx?(x)?c1sinkx?c2coskx

??(0)?0，?c2?0,?(r)?c1sinkx ??(a)?0,?sinax?0,ak?n?,(n?1,2,3,?)

n?n2?2?2?(x)?csinx,En?,12a2?aa2(n?1,2,?)

??nd??1?c1?02 a2．一粒子在一为势场U?x??1??2x2?bx中运动，试求粒子的能级和归一化定态2波函数（准确解）。解：

22222?d1?d1bb2222???H???x?bx?? ???(x?)?2222?dx222?dx2??2??d2d2令x??x? 则 2? 22??dxdx?b?2d21b222 H??????x??222?dx22???2d21b222???(??x??)??E? 222?dx22???2d21b222 ?????x???E??,E??E?222?dx22???x?21????(n?),?n(x?)?Nne2Hn(?x?),En21b2????(n?)?En,22??2?2(n?0,1,2,?)

??2?b???b????n(x)?Nnexp??x?H(?x?),(n?0,1,2,?) n2??2?2????????3．一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为

?0,r?r0; U?r???

???,r?r0.试从薛定谔方程出发求粒子在s态中的能级和定态波函数（不必归一化）。

1d22{ 提示：在s态中?f?(rf) } 2rdr解：

当r?r0,U??,?(r)?0

222??d2???E????r???E?. ???E???当r?r0,H22?2?rdr2?Ed22(r?)?k(r?)?0 令k? 得 22?dr?(r)?(c1coskr?c2sinkr)r

c??(0)有限，?c1?0,?(r)?2sinkr

r??(r0)?0,?sinr0k?0,r0k?n?,(n?1,2,3,?)

En?n2?2?22?r02,?n(r)?c2n?sinr,rr0(n?1,2,?)

?U0?0?当0?x?a??U0 4．粒子在一维势场U?x???中运动，试从薛定

??当x?0,x?a?谔方程出发求出粒子的定态能级和归一化波函数。

解：1．当x?0,x?a,U??,?(0)?0