一、选择题
1.若二次函数y=x2﹣2x+2在自变量x满足m≤x≤m+1时的最小值为6,则m的值为( )
A.5,?5,1?5,1?2 C.1 【答案】B 【解析】 【分析】
由抛物线解析式确定出其对称轴为x=1,分m>1或m+1<1两种情况,分别确定出其最小值,由最小值为6,则可得到关于m的方程,可求得m的值. 【详解】
∵y=x2﹣2x+2=(x﹣1)2+1, ∴抛物线开口向上,对称轴为x=1,
当m>1时,可知当自变量x满足m≤x≤m+1时,y随x的增大而增大, ∴当x=m时,y有最小值,
∴m2﹣2m+2=6,解得m=1+5或m=1﹣5(舍去),
当m+1<1时,可知当自变量x满足m≤x≤m+1时,y随x的增大而减小, ∴当x=m+1时,y有最小值,
∴(m+1)2﹣2(m+1)+2=6,解得m=5(舍去)或m=﹣5, 综上可知m的值为1+5或﹣5. 故选B. 【点睛】
本题主要考查二次函数的性质,用m表示出其最小值是解题的关键.
B.?5,5?1 D.?5,1?5
2.对于二次函数y?ax??2?1??2a?x?a?0?,下列说法正确的个数是( ) ?2?①对于任何满足条件的a,该二次函数的图象都经过点?2,1?和?0,0?两点; ②若该函数图象的对称轴为直线x?x0,则必有0?x0?1; ③当x?0时,y随x的增大而增大;
④若P?4,y1?,Q?4?m,y2??m?0?是函数图象上的两点,如果y1?y2总成立,则
a??1. 12B.2个
C.3个
D.4个
A.1个 【答案】B 【解析】 【分析】
根据二次函数的图象与性质(对称性、增减性)逐个判断即可. 【详解】
?1?2y?ax??2a对于??x?a?0?
?2?当x?2时,y?4a?2(?2a)?1,则二次函数的图象都经过点?2,1? 当x?0时,y?0,则二次函数的图象都经过点?0,0? 则说法①正确
121?2a1此二次函数的对称轴为
x??2???12a4aa?0 ??1?1?1 4a1?1时,y随x的增大而增大;当4a?x0?1,则说法②错误
由二次函数的性质可知,抛物线的开口向下,当x??x??因?1?1时,y随x的增大而减小 4a1?1?1?0 4a11?1时,y随x的增大而增大;当x???1时,y随x的增大而减小 4a4a即说法③错误
则当0?x??m?0
?4?m?4
由y1?y2总成立得,其对称轴x??1?1?4 4a1,则说法④正确 12综上,说法正确的个数是2个 故选:B. 【点睛】
解得a??本题考查了二次函数的图象与性质(对称性、增减性),熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键.
3.已知抛物线y?ax2?bx?c与x轴的一个交点坐标为(4,0),其部分图象如图所示,下列结论:①抛物线一定过原点;②方程ax?bx?c?0?a?0?的解为x?0或4;
2
③a?b?c?0;④当0?x?4时,ax2?bx?c?0;⑤当x?2时,y随x增大而增大.其中结论正确的个数有( )
A.1 【答案】D 【解析】 【分析】
B.2 C.3 D.4
根据题意,求得a,b,c,根据二次函数的图像和性质,结合选项进行逐一分析,即可判断. 【详解】 由题可知?b?2,与x轴的一个交点坐标为(4,0),则另一个交点坐标为?0,0?, 2a故可得16a?4b?c?0,c故可得?4a?b,c?0 ①因为c0,
0,故①正确;
②因为二次函数过点?0,0?,?4,0?,故②正确; ③当x??1时,函数值为a?b?c?0,故③正确; ④由图可知,当0?x?4时,y?0,故④正确; ⑤由图可知,当x?2时,y随x增大而减小,故⑤错误; 故选:D. 【点睛】
本题考查二次函数的图像和性质,涉及二次函数的增减性,属综合中档题.
4.二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象如图所示,下列结论①b2?4ac,②abc?0,③2a?b?c?0,④a?b?c?0.其中正确的是( )
A.①④ B.②④ C.②③ D.①②③④
(专题精选)初中数学二次函数经典测试题附答案
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