高考数学中的内切球和
外接球问题
Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT
高考数学中的内切球和外接球问题
一、 有关外接球的问题
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.
一、直接法(公式法)
1、求正方体的外接球的有关问题
例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .
例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________.
2、求长方体的外接球的有关问题
例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 . 例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）.
A. 16? B. 20? C. 24? D. 32? 3.求多面体的外接球的有关问题
例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有
∴正六棱柱的底面圆的半径r?，球心到底面的距离d?球的半径R?r2?d2. 体积：V?4?3R. 3123.∴外接298小结 本题是运用公式R2?r2?d2求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.
二、构造法(补形法) 1、构造正方体
例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________.
例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 . 故其外接球的表面积S?4?r2?9?.
小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a,b,c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有
2R?a2?b2?c2. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
高考数学中的内切球和外接球问题
