第4节 复 数
最新考纲 1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
知 识 梳 理
1.复数的有关概念
内容 复数的概念 意义 形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R) a＋bi与c＋di共轭?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R) 备注 若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数 复数相等 共轭复数 建立平面直角坐标系来表示复数实轴上的点都表示实数；除了原复平面 的平面叫做复平面，x轴叫实轴，点外，虚轴上的点都表示纯虚数，y轴叫虚轴 →对应的复数为z＝a＋bi，则设OZ复数的模 →的长度叫做复数z＝a＋向量OZbi的模 2.复数的几何意义
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 (1)复数z＝a＋bi
复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).
→.
平面向量OZ
|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2 各象限内的点都表示虚数 (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)
3.复数的运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； (3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
z1a＋bi(a＋bi)(c－di)ac＋bd＋(bc－ad)i(4)除法：z＝＝＝(c＋di≠0).
c＋di(c＋di)(c－di)c2＋d22[微点提醒]
1.i的乘方具有周期性
?i，n＝4k＋1，
i＝?(k∈Z).
－1，n＝4k＋2，?－i，n＝4k＋3
n
1，n＝4k，
2.复数的模与共轭复数的关系 z·z＝|z|＝|z|2. 3.两个注意点
(1)两个虚数不能比较大小；
(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( )
(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点.( )
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( )
解析 (1)虚部为b；(2)虚数不可以比较大小． 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
－
2
－
2.(选修1－2P55A2改编)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为( ) A.1
B.2
C.1或2
D.－1
2??a－3a＋2＝0，
解析 依题意，有?解得a＝2，故选B.
??a－1≠0，
答案 B
?5?3.(选修1－2P63A1(2)改编)复数?2－i?的共轭复数是( )
??A.2－i B.2＋i C.3－4i D.3＋4i
2?25（2＋i）?5???＝(2＋i)2＝3＋4i，所以其共轭复数是3－4i.?＝?解析 ???2－i???（2－i）（2＋i）?
2
故选C. 答案 C
4.(2017·全国Ⅱ卷)A.1＋2i 解析
3＋i1＋i
＝
3＋i
＝( ) 1＋iB.1－2i
（3＋i）（1－i）＝2－i.
（1＋i）（1－i）
C.2＋i
D.2－i
答案 D
5.(2018·北京卷)在复平面内，复数A.第一象限 C.第三象限
1
1
的共轭复数对应的点位于( ) 1－i
B.第二象限 D.第四象限
1＋i1111
解析 ＝2＝2＋2i，其共轭复数为2－2i，
1－i
1?1?1
∴复数的共轭复数对应的点的坐标为?2，－2?，位于第四象限，故选D.
??1－i答案 D
人教A版2020高考文科数学第十一章 第4节 复数
