经济数学基础 第6章 定积分
第二单元 N-L公式
一、学习目标
通过本节课的学习，理解并能熟练运用N-L公式．
二、内容讲解
1.N-L公式：
若F(x)是f(x)的一个原函数，则
?baf(x)dx?F(b)?F(a)简记为F(x)ab
对于N-L公式作几点说明：
①定积分是一个确定的数值，它不依赖于对原函数的选取， 即:若F(x),G(x)均为f(x)的原函数，则
?②在公式
baf(x)dx?F(x)a?G(x)abb
?baxf(x)dx?F(b)?F(a)f(x)dx?F(x)?F(a)
?中如果把b换成x，就得到a由此结果看出，定积分和变上限x之间有确定的对应关系，这就是一个函数，即定积分可以看作积分上限的函数．
在上式左端，积分上限x与积分变量x的含义是不同的．
?再由等式右端可知?③
baxaf(x)dx是被积函数f(x)的一个原函数．
f(x)dx?与
baf(t)dt完全一样，因为
f(x)dx?F(x)a?F(t)a??f(t)dtabbb?
ba
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经济数学基础 第6章 定积分
说明定积分与积分变量选取的字母无关． ④由N——L公式可得
?三、例题讲解
baf(x)dx???f(t)dtba
??例1计算
1aaf(x)dx?0
0x2dx．
2解：因为f(x)?x，它的一个原函数为
F(x)?13x3，
131xdx?x??0303 得
121131213xdx?(x?2)?F(x)?x?2?033 03若将原函数换为，同样得
11例2 计算
?2?1exdx．
xxf(x)?eF(x)?e解：因为，它的一个原函数为，得
?例3 计算
12?1exdx?ex2?1?e2?e?1
?1?1e?2xdx．
1?2x?2xedx??e?c??12解：
?1?1e?2x1dx??e?2x211??(e?2?e2)?12
例4 计算
?20x2x3?1dx．
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经济数学基础 第6章 定积分
x?解：
22x?1dx?(x3?1)2?c9
33?20x2x3?1dx?23(x?1)93220?529
例5计算
x?21xexdx．
xxedx?(x?1)e解：??c
?21xexdx?(x?1)exe121?e2
?例6 计算
解：?lnxdx．
lnxdx?x(lnx?1)?ce?e1lnxdx?x(lnx?1)1?1
四、课堂练习与作业
F(x)??sin2tdt0x1．设
F?()4. ，求
?2．利用N-L公式计算下列定积分：
?（1）
10xdx2?；（2）
21xdx2?；（3）
10xedxx2??；（4）
20xcosxdx.
111?(e?1)?123221．；2.（1） （2）1 （3） （4）
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