拉氏变换及其计算机公式 - 图文

由天下分享时间：2024/11/30 22:49:08 加入收藏我要投稿点赞

输出的拉氏变换为

（1）时，

（2）时，

拉氏变换及反变换公式 1. 拉氏变换的基本性质 1 齐次性线性定理叠加性 L[af(t)]?aF(s) L[f1(t)?f2(t)]?F1(s)?F2(s) 2 微分定理一般形式 df(t)]?sF(s)?f(0)dtd2f(t)L[]?s2F(s)?sf(0)??f?（0） 2dt???????L[ndnf(t)n??sF(s)?sn?kf?ndtk?1k?1df(t)f(k?1)(t)?dtk?1??????L?(k?1)(0)初始条件为0时 3 积分定理一般形式 dnf(t)L[]?snF(s) ndtL[?f(t)dt]?2F(s)[?f(t)dt]t?0?ss2F(s)[?f(t)dt]t?0[??f(t)(dt)]t?0L[??f(t)(dt)]?2??ss2s?共n个??nF(s)1nL[???f(t)(dt)]?n??n?k?1[???f(t)(dt)n]t?0sk?1s共n个初始条件为0时 4 延迟定理（或称t域平移定理） 5 衰减定理（或称s域平移定理） 6 终值定理 7 初值定理 8 卷积定理 ?F(s)L[???f(t)(dt)n]?n s共n个L[f(t?T)1(t?T)]?e?TsF(s) L[f(t)e?at]?F(s?a) limf(t)?limsF(s) t??s?0limf(t)?limsF(s) t?0s??L[?f1(t??)f2(?)d?]?L[?f1(t)f2(t??)d?]?F1(s)F2(s) 00tt2．常用函数的拉氏变换和z变换表序拉氏变换E(s) 时间函数e(t) 号 1 2 3 4 1 1 ?Ts1?e1 sZ变换E(z) 1 z z?1δ(t) ?T(t)???(t?nT) n?0?1(t) t z z?11 s2Tz (z?1)25 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 s3t2 22 Tz(z?1) 2(z?1)31sn?11s?a tn n!(?1)n?nzlim() n?aTa?0n!?az?ez z?e?aTe?at te?at 1?e?at1 2(s?a)a s(s?a)Tze?aT ?aT2(z?e)(1?e?aT)z (z?1)(z?e?aT) b?a (s?a)(s?b)e?at?e?bt sin?t zz? z?e?aTz?e?bTzsin?T 2z?2zcos?T?1z(z?cos?T) z2?2zcos?T?1?s2??2 s 22s??cos?t ?(s?a)2??2e?atsin?t ze?aTsin?T 2?aT?2aTz?2zecos?T?ez2?ze?aTcos?T 2?aT?2aTz?2zecos?T?ez z?as?a 22(s?a)??1 s?(1/T)lnae?atcos?t at/T 3．用查表法进行拉氏反变换

用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设F(s)是s的有理真分式

B(s)bmsm?bm?1sm?1???b1s?b0 （n?m） F(s)??nn?1A(s)ans?an?1s???a1s?a0式中系数a0,a1,...,an?1,an，b0,b1,?bm?1,bm都是实常数；m,n是正整数。按代数定理可将F(s)展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① A(s)?0无重根

这时，F(s)可展开为n个简单的部分分式之和的形式。

ncicncic1c2 F(s)??????????s?s1s?s2s?sis?sni?1s?si式中，s1,s2,?,sn是特征方程A(s)＝0的根。ci为待定常数，称为F(s)在si处的

留数，可按下式计算：

(s?si)F(s) ci?lim或

s?siB(s) ci?

A?(s)s?si式中，A?(s)为A(s)对s的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数

n?nci??st f(t)?L?F(s)??L??＝ ce??i?i?1s?si?i?1?1?1i② A(s)?0有重根

设A(s)?0有r重根s1，F(s)可写为

F?s??=

B(s) r(s?s1)(s?sr?1)?(s?sn)cicncrcr?1c1cr?1 ???????????rr?1(s?s1)(s?s1)(s?s1)s?sr?1s?sis?sn式中，s1为F(s)的r重根，sr?1，…, sn为F(s)的n-r个单根；

其中，cr?1，…, cn仍按式(F-2)或(F-3)计算，cr，cr?1，…, c1则按下式计算：

cr?lim(s?s1)rF(s)