(2-80)
这表明时域函数卷积分在变换域成为变换域函数的乘积。证明可参考其他教材。
时域函数在变换域中表示有两个优点。一个优点是简化了函数，例如指数函数和正、余弦函数都是时域中的超越函数，在变换域中成为有理函数表示；另一个优点是简化了运算，如时域函数的卷积分在变换域中成为变换域函数的乘积。 常用的拉氏变换基本定理可以参见表2-2。
表2-2 拉普拉斯变换的基本性质表
四、拉普拉斯反变换 拉普拉斯变换将时域函数复变函 数
变换为复变函数
，相应地它的逆运算可以将
变换回原时域函数。拉氏变换的逆运算称为拉普拉斯反变换，
简称拉氏反变换。由复变函数积分理论，拉氏反变换的计算公式为
(2-81)
上式的拉氏反变换，由于是复变函数的积分，计算复杂，一般很少采用。所以已知
反求
时，通常采用的方法是部分分式法。
由于工程中常见的时间信号将
，它的拉氏变换都是s的有理分式。因此，可以
之和，再利用拉氏变换表确定出所有的有，合成时域函数
。上述过程遵循的是
分解为一系列的有理分式
所对应的时域函数
理分式项
拉氏变换的线性定理。 拉氏变换
通常为s的有理分式，可以表为
(2-82)
式中，
是分子多项式，
是分母多项式，系数
。
和
均为实数，，为正整数，而且
在复变函数理论中，分母多项式所对应的方程称为
的极点。这样
可以表示为
，其所有的解
(2-83)
由复变函数的留数定理，可以确定
的各分式
，求得拉氏反变换为
(2-84)
下面分别讨论各种计算情况。 1．
全部为单根
可以分解为
(2-85)
其中
(2-86)
为复变函数
对于极点
的留数。则拉氏反变换为
(2-87)
例2-11 已知： 解：将
分解为部分分式
，求拉氏反变换。
极点为：
，则对应极点的留数为
则分解式为
查拉氏变换表可得
2．有重根
只考虑一个单根情况，设为
为单根，为重根，，则可以展开
(2-88)
式中，与单根相对应的系数的求法与前述相同。与重根相对应的各系数，
，由留数定理可得计算公式如下：
(2-89)
…………
拉氏变换及其计算机公式 - 图文
