根的判别式与韦达定理
模块一 根的判别式
b2b2?4ac1、定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 (x?)?，显然只有22a4abb2?4ac当b?4ac?0时，才能直接开平方得：x???．
2a4a22注：一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)只有当系数a、b、c满足条件??b2?4ac?0时才有实数根．这里b2?4ac叫做一元二次方程根的判别式． 2、判别式与根的关系
在实数范围内，一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的根由其系数a、b、c确定，它的根的情况（是否有实数根）由??b2?4ac确定．
设一元二次方程为ax2?bx?c?0(a?0)，其根的判别式为：??b2?4ac则 ①??0?方程ax?bx?c?0(a?0)有两个不相等的实数根x1,22?b?b2?4ac?．
2a②??0?方程ax2?bx?c?0(a?0)有两个相等的实数根x1?x2??③??0?方程ax2?bx?c?0(a?0)没有实数根．
练习：运用判别式，判定方程实数根的个数
【例1】 不解方程，判断下列方程的根的情况：
b． 2a（1）2x2?3x?4?0； （2）ax2?bx?0（a?0）
【巩固】不解方程，判别一元二次方程2x2?6x?1的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定
【巩固】不解方程判定下列方程根的情况：
（1）2x2?3x?4?0； （2）3x2?2?26x； （3）
（4）(2m2?1)x2?2mx?2?0；（5）x2?2ax?a?1?0；（6）3x2?2x?2?0；
（7）4x(x?1)?3?0； （8）(x?1)(x?2)?m2
【例2】 已知a，b，c是不全为0的3个实数，那么关于x的一元二次方程
x2?(a?b?c)x?(a2?b2?c2)?0 的根的情况（ ）．
322x?1?x； 22A．有2个负根 C．有2个异号的实根
B．有2个正根 D．无实根
利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围
【例3】 m取什么值时，关于x的方程x2?2(3?mx)2?6有两个相等的实数根
【巩固】如果关于x的一元二次方程kx2?6x?9?0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A． k?1 B． k?0 C．k?1且k?0 D． k?1
【巩固】方程kx2?6x?1?0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是
【巩固】若关于x的二次方程(m?1)x2?2mx?m?2?0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
【巩固】若关于x的一元二次方程(k?1)x2?2x?1?0有实数根，则k的最小整数值为
【巩固】已知方程m2x2?(2m?1)x?1?0有实数根，求m的范围．
【例4】 关于x的一元二次方程(1?2k)x2?2k?1x?1?0有两个不相等的实数根，
求k的取值范围．
【巩固】关于x的方程x2?2kx?1?0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（ ） 【巩固】已知关于x的方程x2?2(m?1)x?m2?5?0有两个不相等的实数根，化简：
|1?m|?m2?4m?4
【巩固】已知关于x的一元二次方程x2?1?mx?m?0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
【巩固】k为何值时，方程(k?1)x2?(2k?3)x?(k?3)?0有实数根．
【例5】 关于x的方程?a?6?x2?8x?6?0有实数根，则整数a的最大值是 ．
【巩固】若方程x2?2(a?1)x?a2?4a?5?0有实数根，求：正整数a．
【例6】 已知关于x的方程x2??a?b?x?12?b?2b?1??0有两个相等的实数根，且2a、b为实数，则3a?2b?________．
【巩固】当a、b为何值时，方程x2?2?1?a?x?3a2?4ab?4b2?2?0有实根？
【例7】 已知a，b，c为正数，若二次方程ax2?bx?c?0有两个实数根，那么方
程a2x2?b2x?c2?0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的正实数根 B．有两个异号的实数根 C．有两个不相等的负实数根 D．不一定有实数根
【巩固】若方程(m?2)x2?2(m?1)x?m?0只有一个实数根，那么方程
(m?1)x2?2mx?m?2?0（ ）．
A．没有实数根 C．有2个相等的实数根
B．有2个不同的实数根 D．实数根的个数不能确定
通过判别式，证明与方程相关的代数问题
【例8】 对任意实数m，求证：关于x的方程(m2?1)x2?2mx?m2?4?0无实数根．
【巩固】求证：关于x的一元二次方程x2?(2?m)x?1?m?0有两个实数根．
【巩固】已知实数a、b、c、r、p满足pr?2，pc?2b?ra?0，求证：一元二
次方程ax2?2bx?c?0 必有实根．
【巩固】证明：无论实数m、n取何值时，方程mx2?(m?n)x?n?0都有实数根
【巩固】已知：方程mx2?2?m?2?x?m?5?0没有实数根，且m?5，求证：
?m?5?x2?2?m?2?x?m?0有两个实数根．
模块二 韦达定理
如果ax2?bx?c?0(a?0)的两根是x1，x2，则x1?x2??，x1x2?．（隐含的条件：
x2是方程x2?px?q?0特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设x1，??0）
baca的两个根，则x1?x2??p，x1?x2?q． 利用韦达定理求代数式的值
【例9】 不解方程2x2?(3?4)x?23?0，求两根之和与两根之积
【巩固】设方程4x2?7x?3?0的两个根为x1、x2，不解方程求下列各式的值 （1）(x1?3)(x2?3)； （2）
x2x?1； （3）x1?x2 x1?1x2?1【巩固】已知方程2x2?4x?3?0的两个根为x1、x2 （1）x1?x2? ； （2）x1?x2?_______； （3）
11??_______； （4）x12?x22?_______ x1x2【巩固】已知?、?是方程x2?5x?2?0的两根，求
利用韦达定理求参数的值
???的值． ??【例10】方程kx2?6x?1?0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 【例11】若?3、2是方程x2?px?q?0的两个根，则p?q?________
【巩固】若方程x2?px?1?0的一个根为1?2，则它的另一根等于 ，
p等于
【巩固】关于x的方程x2?2bx?1?0的一个根为?2，则另一个根是 ，
b?______
【巩固】方程3x2?8x?m?0的两个根之比为3:1，则m?_______ 【巩固】已知2?3是方程x2?4x?k?0的一个根，求另一个根和k的值
【例12】已知方程x2?4x?m?0的两个根的平方和是10，求m的值。
【巩固】已知关于x的方程x2?mx?m?1?0有两个不相等的实根x1、x2，且
11??m，求m的值 x1x2
【巩固】设x1、x2是方程x2?2?k?1?x?k2?2?0的两个不同的实根，且
?x1?1??x2?1??8，则k的值是＿＿＿＿．
韦达定理的应用
