《建筑力学与结构》静定结构的内力分析
【学习目标】
1、能够计算多跨静定梁、刚架、桁架的内力
2、能够画出多跨静定梁、静定平面刚架的内力图。 【知识点】
静定梁、静定平面刚架、静定平面桁架的内力计算。 【工作任务】
任务 多跨静定梁的计算
任务 静定平面刚架的内力计算及内力图绘制 任务 静定平面桁架内力计算
【教学设计】通过对静定梁、静定平面刚架、静定平面桁架例题的求解让同学们对静定结构的内力计算及内力图的绘制有个清楚的认识。
8.1静定梁的计算
若干根梁用铰相连，并和若干支座与基础相连而组成的静定梁，称为多跨静定梁。
在实际的建筑工程中，多跨静定梁常用来跨越几个相连的跨度。下图(a) 8-1所示为一公路或城市桥梁中，常采用的多跨静定梁结构形式之一，其计算简图如图8-1 (b)所示。
图8-1
在房屋建筑结构中的木檩条，也是多跨静定梁的结构形式，如图8-2(a)所示为木
檩条的构造图，其计算简图如图8-2(b)所示。
连接单跨梁的一些中间铰，在钢筋混凝土结构中其主要形式常采用企口结合 (上图8-1a)，而在木结构中常采用斜搭接并用螺栓连接(图8-2b)。
从几何组成分析可知，上图8-1(b)中AB梁是直接由链杆支座与地基相连，是
几何不变的。且梁AB本身不依赖梁BC和CD就可以独立承受荷载，称之为基本部分。如果
仅受竖向荷载作用，CD梁也能独立承受荷载维持平衡，同样可视为基本部分。短梁BC是依靠基本部分的支承才能承受荷载并保持平衡，所以，称为附属部分。同样道理在下图8-2(b)中梁AB、CD和EF均为基本部分，梁BC和梁DE为附属部分。为了更清楚地表示各部分之间的支承关系，把基本部分画在下层，将附属部分画在上层，如上图8-1(c)和下图8-2（c)所示，我们称它为关系图或层叠图。
从受力分析来看，当荷载作用于基本部分时，只有该基本部分受力，而与其相连的附属部分不受力；当荷载作用于附属部分时，则不仅该附属部分受力，且将通过铰把力传给与其相关的基本部分上去。因此，计算多跨静定梁时，必须先从附属部分计算，再计算基本部分，按组成顺序的逆过程进行。例如上图8-1（c），应先从附属梁BC计算，再依次考虑CD、AB梁。这样便把多跨梁化为单跨梁，分别进行计算，从而可避免解算联立方程。再将各单跨梁的内力图连在一起，便得到多跨静定梁的内力图。
图8-2
【例8-1】 试作下图8-3 (a)所示多跨静定梁的内力图。 【解】 (1)作层叠图
如图(b)所示，AC梁为基本部分，CE梁是通过铰C和D支座链杆连接在AC梁上，要依靠AC梁才能保证其几何不变性，所以CE梁为附属部分。 (2)计算支座反力
从层叠图看出，应先从附属部分CE开始取隔离体，如下图(c)所示。
ΣMB =0 -80×6+VD×4=0 VD=120KN
ΣMD=0
-80×2+VC×4=0 VC=120KN
将VC反向，作用于梁AC上，计算基本部分
ΣX =0 HA=0
ΣMA =0 40×10-VB×8-10×8×4+64=0
VB=18 KN
ΣMB =0 40×2+10×8×4+64-VA×8=0
VA=58 KN
校核：由整体平衡条件得Σy=一80+120—18+58—10×8=0，无误 (3)作内力图 ．
除分别作出单跨梁的内力图，然后拼合在同一水平基线上这一方法外，多跨静定梁的内力图也可根据其整体受力图直接绘出，如下图(d)、(e)所示。
图8-3
8.2静定平面刚架的内力计算及内力图绘制
8.2.1 静定平面刚架的特点
(1) 刚架(亦称框架)是若干根直杆组成的具有刚节点的结构。静定平面刚架常见的
形式有简支刚架、悬臂刚架、三铰刚架、门式刚架等，分别如下图(a)、 (b)、(c)、(d)所示。
图8-4
刚架中的所谓刚节点，就是在任何荷载作用下，梁、柱在该节点处的夹角保持不变。如上图8-4 (a)、(b)、(c)、(d)中虚线所示，刚节点有线位移和转动，但原来节点处梁、柱轴线的夹角大小保持不变。
(2) 在受力方面，由于刚架具有刚节点，梁和柱能作为一个整体共同承担荷载的作用，结构整体性好，刚度大，内力分布较均匀。在大跨度、重荷载的情况下，是一种较好的承重结构，所以刚架结构在工业与民用建筑中，被广泛地采用。
8.2.2 静定刚架的内力计算及内力图 8.2.2.1 内力计算
如同研究梁的内力一样，在计算 刚架内力之前，首先要明确刚架在荷载作用下，其杆件横截面将产生什么样的内力。现以左图8-5（a）所示静定悬臂刚架为例作
一般性的讨论。 图8-5 现在我们研究刚架任意一截面m—m产生什么内力。先用截面法假想将刚架从m---m截面处截断，取其中一部分隔离体图(b)。在这隔离体上，由于作用荷载，所以截面m—m
上必产生内力与之平衡。从ΣX=0可知，截面上将会有一水平力，即截面的剪力Q；从ΣY=0 可知，截面将会有一垂直力，即截面的轴力N；再以截面的形心0为矩心，从Σmo=0可知，截面必有一力偶，即截面的弯矩M。因此可得出结论：刚架受荷载作用产生三种内力：弯矩、剪力和轴力。
要求出静定刚架中任一截面的内力(M、N、Q)也如同计算梁的内力一样，用截面法将刚架从指定截面处截开，考虑其中一部分隔离体的平衡，建立平衡方程，解方程从而求出它的内力。因此，关于静定梁的弯矩和剪力计算的一般法则，对于刚架来说同样是适用的。即：
“任一截面的弯矩在数值等于该截面任一侧所有外力(包括支座反力)对该截面形心力矩的代数和”。
“任一截面的剪力在数值上等于该截面任一侧所有外力(包括支座反力)沿该截面切向投影的代数和”。
“任一截面的轴力在数值上等于该截面任一侧所有外力(包括支座反力)在该截面法向投影的代数和”。
8.2.2.2 内力图的绘制
在作内力图时，先根据荷载等情况确定各段杆件内力图的形状，之后再计算出控制截面的内力值，这样即可作出整个刚架的内力图。对于弯矩图通常不标明正负号，而把它画在杆件受拉一侧，而剪力图和轴力图则应标出正负号。
在运算过程中，内力的正负号规定如下：使刚架内侧受拉的弯矩为正，反之为负；轴力以拉力为正、压力为负；剪力正负号的规定与梁相同。
为了明确的表示各杆端的内力，规定内力字母下方用两个角标表示，第一个角标表示该内力所属杆端，第二个角标表示杆的另一端。如AB杆A端的弯矩记
为MAB，B端的弯矩记为MBA；CD杆C端的剪力记为QCD、D端的剪力记为QDC等等。 全部内力图作出后，可截取刚架的任一部分为隔离体，按静力平衡条件进行校核。 【例8-2】 计算图8-6所示刚架刚节点C、D处杆端截面的内力。 【解】(1)利用平衡条件求出支座反力，如图8-6所示；
(2)计算刚节点C处杆端截面内力
取AC1段上的所有外力可求得：
图8-6
NCA = 4KN
VCA =12-3×4=0
MCA=12×4-3×4×2=24KN. m （内侧受拉）
取AC2杆上所有的外力可求得 NCD = 12-3×4=0
VCD = -4KN
MCA=12×4-3×4×2=24KN. m （下侧受拉）
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