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一元二次函数的图象
一、 定义：
一般地，如果y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)，那么y叫做x的一元二次函数. 其中，x是自变量，a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。
二、一元二次函数y＝ax2＋bx＋c﹙a≠0﹚的图象(其中a,b,c均为常数)
1.当a＞0时 函数图象开口向上；
对称轴为x＝﹣2a／b，有最小值且为﹙4ac－b2﹚／4a； 当x∈﹙﹣∞,﹣2a／b]时递减；当x∈[﹣2a／b,﹢∞﹚时递增；
2.当a＜0时
函数图象开口向下；
对称轴为x＝﹣2a／b，有最大值且为﹙4ac－b2﹚／4a； 当x∈﹙﹣∞,﹣2a／b]时递增；当x∈[﹣2a／b,﹢∞﹚时递减；
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2.△＝b2－4ac
当△＞0时，函数图象与x轴有两个交点； 当△＝0时，函数图象与x轴只有一个交点； 当△＜0时，函数图象与x轴没有交点。 (如下图所示)
2y?ax?bx?c中，a,b,c的作用 三、抛物线
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(1) a决定开口方向及开口大小，这与y?ax2中的a完全一样.
1例1：画出y??x2 y??x2 y??2x2的图象
21 y??x2 y??2x2 y??x2
2
归纳：一般地，抛物线y?ax2的对称轴是y轴，顶点是原点，当a?0时，抛物
线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；当a?0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大。
a(2)b和共同决定抛物线对称轴的位置
11例2：画出二次函数y??(x?1)2，y??（x?1)2的图象，考虑他们的开口方向、
22对称轴和顶点。
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11y??(x?1)2 y??（x?1)2
221可以看出，抛物线y??(x?1)2的开口向下，对称轴是进过点（-1,0）且与x轴
21垂直的直线，记为x=-1，顶点是（-1,0）；抛物线y??（x?1)2的开口向下，对
2称轴是x=1，顶点是（1,0）。
1例3：画出函数y??(x?1)2?1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点。
211抛物线y??x2经过怎样的变换可以得到抛物线y??(x?1)2?1？
22
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1抛物线y??(x?1)2?1的开口方向向下、对称轴是x=-1，顶点是（-1，-1）。
21把抛物线y??x2向下平移1个单位，再向左平移2个单位，就得到抛物线
21y??(x?1)2?1。
2归纳：一般地，抛物线y?a(x?h)2?k与y?ax2形状相同，位置不同。把抛物
线y?ax2向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线y?a(x?h)2?k。平移的方向、距离要根据h，k的值来决定。
抛物线y?a(x?h)2?k有如下特点：
（1）当a?0时，抛物线的开口向上；当a?0时，抛物线的开口向下； （2）对称轴是直线x=h； （3）顶点坐标是（h，k） 例4：画出y?12x?6x?21的图象 2
归纳：一般地，可以用配方法求抛物线y?ax2?bx?c(a?0)的顶点与对称轴
一元二次函数归纳
