函数对称性、周期性和奇偶性
关岭民中数学组
(一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性：（奇偶性是一种特殊的对称性） 一、奇偶性:（1） 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式f(x)?f(?x)?0
（2）偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式 f(?x)?f(x)
二、奇偶性的拓展 : 同一函数的对称性
（1）函数的轴对称：
函数y?f(x)关于x?a对称?f(a?x)?f(a?x)
f(a?x)?f(a?x)也能够写成f(x)?f(2a?x) 或 f(?x)?f(2a?x)
若写成：f(a?x)?f(b?x)，则函数y?f(x)关于直线x?(a?x)?(b?x)a?b 对称 ?22 证明：设点(x1,y1)在y?f(x)上，通过f(x)?f(2a?x)可知，y1?f(x1)?f(2a?x1)，即点
(2a?x1,y1)也在y?f(x)上，而点(x1,y1)与点(2a?x1,y1)关于x=a对称。得证。
说明：关于x?a对称要求横坐标之和为2a，纵坐标相等。
∵(a?x1,y1)与(a?x1,y1) 关于x?a对称，∴函数y?f(x)关于x?a对称
?f(a?x)?f(a?x)
∵(x1,y1)与(2a?x1,y1)关于x?a对称，∴函数y?f(x)关于x?a对称?f(x)?f(2a?x) ∵(?x1,y1)与(2a?x1,y1)关于x?a对称，∴函数y?f(x)关于x?a对称
?f(?x)?f(2a?x)
（2）函数的点对称：
函数y?f(x)关于点(a,b)对称?f(a?x)?f(a?x)?2b
上述关系也可以写成f(2a?x)?f(?x)?2b 或 f(2a?x)?f(x)?2b
若写成：f(a?x)?f(b?x)?c，函数y?f(x)关于点(a?bc,) 对称 22 证明：设点(x1,y1)在y?f(x)上，即y1?f(x1)，通过f(2a?x)?f(x)?2b 可知，f(2a?x1)?f(x1)?2b，因此f(2a?x1)?2b?f(x1)?2b?y1，因此点
(2a?x1,2b?y1)也在y?f(x)上，而点(2a?x1,2b?y1)与(x1,y1)关于(a,b)对称
得证。
说明: 关于点(a,b)对称要求横坐标之和为2a,纵坐标之和为2b,如(a?x)与（a?x) 之和为 2a。 （3）函数y?f(x)关于点y?b对称:假设函数关于y?b对称，即关于任一个x值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的概念，故函数自身不可能关于y?b对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会显现关于y?b对称，比如圆c(x,y)?x2?y2?4?0它会关于y=0对称。 （4）复合函数的奇偶性的性质定理：
性质一、复数函数y＝f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]。 复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]。 性质二、复合函数y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)； 复合函数y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)。
性质3、复合函数y＝f(x＋a)为偶函数，则y＝f(x)关于直线x＝a轴对称。 复合函数y＝f(x＋a)为奇函数，则y＝f(x)关于点(a,0)中心对称。 总结：x的系数一个为1，一个为-1，相加除以2，可得对称轴方程
总结：x的系数一个为1，一个为-1，f(x)整理成两边，其中一个的系数是为1，另一个为-1，存在对称中心。
总结：x的系数同为为1，具有周期性。 (二)、两个函数的图象对称性
一、y?f(x)与y??f(x)关于X轴对称。
证明：设y?f(x)上任一点为(x1,y1) 则y1?f(x1)，因此y??f(x)通过点(x1,?y1)
∵(x1,y1)与(x1,?y1)关于X轴对称，∴y1?f(x1)与y??f(x)关于X轴对称. 注：换种说法：y?f(x)与y?g(x)??f(x)若知足f(x)??g(x)，即它们关于y?0对称。 二、y?f(x)与y?f(?x)关于Y轴对称。
证明：设y?f(x)上任一点为(x1,y1)则y1?f(x1)，因此y?f(?x)通过点(?x1,y1) ∵(x1,y1)与(?x1,y1)关于Y轴对称，∴y?f(x)与y?f(?x)关于Y轴对称。 注：因为(?x1,y1)代入y?f(?x)得y1?f(?(?x1))?f(x1)因此y?f(?x)通过点(?x1,y1)
换种说法：y?f(x)与y?g(x)?f(?x)若知足f(x)?g(?x)，即它们关于x?0对称。
g(?x)?f(?(?x))?f(x)
3、y?f(x)与y?f(2a?x)关于直线x?a 对称。
证明：设y?f(x)上任一点为(x1,y1)则y1?f(x1)，因此y?f(2a?x)通过点(2a?x1,y1)
∵(x1,y1)与(2a?x1,y1)关于x?a轴对称，∴y?f(x)与y?f(2a?x)关
于直线x?a 对称。
注：换种说法：y?f(x)与y?g(x)?f(2a?x)若知足f(x)?g(2a?x)，即它们关于x?a对称。 4、y?f(x)与y?2a?f(x)关于直线y?a对称。
证明：设y?f(x)上任一点为(x1,y1)则y1?f(x1)，因此y?2a?f(x)通过点(x1,2a?y1) ∵(x1,y1)与(x1,2a?y1)关于y?a轴对称，∴y?f(x)与y?2a?f(x)关于直线y?a对称. 注：换种说法：y?f(x)与y?g(x)?2a?f(x)若知足f(x)?g(x)?2a，即它们关于y?a对称。 五、y?f(x)与y?2b?f(2a?x)关于点(a,b)对称。
证明：设y?f(x)上任一点为(x1,y1)则y1?f(x1)，因此y?2b?f(2a?x)通过点(2a?x1,2b?y1) ∵(x1,y1)与(2a?x1,2b?y1)关于点(a,b)对称，∴y?f(x)与y?2b?f(2a?x)关于点(a,b)对称. 注：换种说法：y?f(x)与y?g(x)?2b?f(2a?x)若知足f(x)?g(2a?x)?2b，即它们关于点(a,b)对称。
g(2a?x)?2b?f(2a?(2a?x))?2b?f(x)
六、y?f(a?x)与y?f(x?b)关于直线x?a?b对称。 2证明：设y?f(x)上任一点为(x1,y1)则y1?f(x1)，因此y?f(a?x)通过点(a?x1,y1),y?f(b?x)通过点(b?x1,y1),∵(a?x1,y1)与(b?x1,y1)关于直线x?∴y?f(a?x)与y?f(x?b)关于直线x?a?b对称， 2a?b对称。 2三、总规律：概念在Ｒ上的函数y?f?x?，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条必然存在。 一、
同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)
(一)、函数的周期性：关于函数y?f(x)，若是存在一个不为零的常数T，使适当x取概念域内的每一个值时，都有f(x?T)?f(x)都成立，那么就把函数y?f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做那个函数的周期。若是所有的周期中存在着一个最小的正数，就把那个最小的正数叫做最小正周期。
1、周期性：
（1）函数y?f(x)知足如下关系式，则f(x)的周期为2T A、f(x?T)??f(x) B、f(x?T)? C、f(x?11 或f(x?T)??f(x)f(x)T1?f(x)T1?f(x))?或f(x?)?（等式右边加负号亦成立） 21?f(x)21?f(x) D、其他情形
函数对称性周期性和奇偶性规律总结
