2007年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)(1)当x?0?时,与x等价的无穷小量是（(A)1?ex）(B)ln1?x1?x(C)1?x?1
）(D)1?cosx(2)曲线y?(A)01
?ln(1?ex),渐近线的条数为（x
(B)1(C)2(D)3(3)如图,连续函数y?f(x)在区间[?3,?2],[2,3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[?2,0],[0,2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设F(x)??x0f(t)dt.则下列结论正确的是（3
F(?2)4）(A)F(3)??(C)F(3)?
3
F(2)45
F(2)45
(D)F(3)??F(?2)
4(B)F(3)?）(4)设函数f(x)在x?0处连续,下列命题错误的是（f(x)
存在,则f(0)?0
x?0x
f(x)
(C)若lim存在,则f?(0)?0
x?0x(A)若limf(x)?f(?x)
存在,则f(0)?0
x?0x
f(x)?f(?x)
(D)若lim存在,则f?(0)?0
x?0x(B)若lim
）(5)设函数f(x)在(0,+?)上具有二阶导数,且f\x)?0,令un?f(n)?1,2,?,n,则下列结论正确的是（(A)若u1?u2,则{un}必收敛(C)若u1?u2,则{un}必收敛(B)若u1?u2,则{un}必发散(D)若u1?u2,则{un}必发散(6)设曲线L:f(x,y)?1(f(x,y)具有一阶连续偏导数),过第2象限内的点M和第Ⅳ象限内的点N,?为L上从点M到N的一段弧,则下列小于零的是（(A)）???(x,y)dx
?(B)?
?f(x,y)dy(C)?f(x,y)ds(D)?f'x(x,y)dx?f'y(x,y)dy
）(7)设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线形相关的是（(A)α1?α2,α2?α3,α3?α1(C)α1?2α2,α2?2α3,α3?2α1
(B)α1?α2,α2?α3,α3?α1(D)α1?2α2,α2?2α3,α3?2α1
1?100??2?1?1?????(8)设矩阵A??12?1,B?010,则A与B（?????000???1?12?????(A)合同,且相似(C)不合同,但相似(B)合同,但不相似(D)既不合同,也不相似）(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p?0?p?1?,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（）2
(A)3p(1?p)
2
(B)6p(1?p)
2
2
2
(C)3p(1?p)(D)6p(1?p)
2
(10)设随即变量(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关,fX(x),fY(y)分别表示X,Y的概率密度,则在Y?y的条件下,X的条件概率密度fX
|Y
(x|y)为（）(A)fX(x)(B)fY(y)(C)fX(x)fY(y)
(D)fX(x)fY(y)二、填空题(11－16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上)(11)?
2
1
11
exdx=_______.3x
y
x
(12)设f(u,v)为二元可微函数,z?f(x,y),则(13)二阶常系数非齐次线性方程y''?4y'?3y?2e(14)设曲面?z
=______.?x2x
的通解为y=____________.?:|x|?|y|?|z|?1,则???
?
(x?|y|)ds=_____________.?0
?0
(15)设矩阵A??
?0??0100?
?
010?3
,则A的秩为________.001?
?
000?
1
的概率为________.2(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于三、解答题(17－24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(17)(本题满分11分)求函数f(x,y)?x?2y?xy在区域D?{(x,y)|x?y?4,y?0}上的最大值和最小值.2
2
2
2
2
2
2(18)(本题满分10分)y2
(0?z?1)的上侧.计算曲面积分I???xzdydz?2zydzdx?3xydxdy,其中?为曲面z?1?x?4?
2
(19)(本题满分11分)设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)?g(a),f(b)?g(b),证明:存在??(a,b),使得f??(?)?g??(?).(20)(本题满分10分)设幂级数?ax
n?0
n
?
n
在(??,??)内收敛,其和函数y(x)满足y???2xy??4y?0,y(0)?0,y?(0)?1.
(1)证明:an?2?
2
an,n?1,2,?.n?1(2)求y(x)的表达式.(21)(本题满分11分)?x1?x2?x3?0?
设线性方程组?x1?2x2?ax3?0,与方程x1?2x2?x3?a?1,有公共解,求a的值及所有公共解.?x?4x?a2x?0
23?1
(22)(本题满分11分)设3阶实对称矩阵A的特征向量值?1?1,?2?2,?3??2.α1?(1,?1,1)是A的属于特征值?1的一个特征向量,T
3记B?A5?4A3
?E,其中E为3阶单位矩阵.(1)验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量.(2)求矩阵B.(23)(本题满分11分)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)???
2?x?y,0?x?1,0?y?1
?
0,其他(1)求P{X?2Y}.
(2)求Z?X?Y的概率密度fz(z).(24)(本题满分11分)??1
?2?,0?x??设总体X的概率密度为f(x;?)???
1
?2(1??),??x?1??0,其他?
其中参数
未知，X1,X2?,Xn是来自总体x的简单随机样本,X是样本均值(1)求参数?的矩估计量??.(2)判断4X2
是否为?2
的无偏估计量,并说明理由.42006年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)xln(1?x)
.?
x?01?cosxy(1?x)
(2)微分方程y??的通解是x(1)lim
(3)设?是锥面z?
..x2?y2(0?z?1)的下侧,则??xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy?
?(4)点(2,1,0)到平面3x?4y?5z?0的距离d=(5)设矩阵A??
.?21?
?,E为2阶单位矩阵,矩阵B满足BA?B?2E,则B=??12?
.(6)设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则P?max{X,Y}?1?=.二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)(7)设函数y?f(x)具有二阶导数,且f?(x)?0,f??(x)?0,?x为自变量x在x0处的增量,?y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分,若?x?0,则（(A)0?dx??y(C)?y?dy?0
?401）(B)0??y?dy(D)dy??y?0
(8)设f(x,y)为连续函数,则220
?
d??f(rcos?,rsin?)rdr等于（0）(A)??
dx?dy?
?
1?x2x
f(x,y)dy
(B)??
220
dx?dy?
1?x20
f(x,y)dy
(C)220
1?y2y
f(x,y)dx
(D)220
1?y20
f(x,y)dx
(9)若级数?a
n?1n
n
收敛,则级数（）(A)?a
n?1?n?1
?
收敛(B)?(?1)
n?1?
?
n
an收敛(C)?anan?1收敛1(D)an?an?1收敛?2n?1
(10)设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数,且?y(x,y)?0.已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件?(x,y)?0下的一个极值点,下列选项正确的是（）5
考研数学历年真题(1998-2007)年数学一
