高中数学必修2立体几何常考题型：直线与平面、平面与平面平行的性
质正式版
直线与平面、平面与平面平行的性质
【知识梳理】
1．线面平行的性质定理
(1)文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．
(2)图形语言：
(3)符号语言：
a∥α
??
a?β??a∥b α∩β＝b??
(4)作用：线面平行?线线平行． 2．面面平行的性质定理
(1)文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． (2)图形语言：
(3)符号语言：
α∥β
??
α∩γ＝a??a∥b β∩γ＝b??
(4)作用：面面平行?线线平行．
【常考题型】
题型一、线面平行的性质及应用
【例1】 如图所示，已知三棱锥A—BCD被一平面所截，截面为?EFGH，求证：CD∥平面EFGH.
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[证明] ∵EFGH为平行四边形，∴EF∥GH. 又GH?平面BCD，EF?平面BCD， ∴EF∥平面BCD.
而平面ACD∩平面BCD＝CD，EF?平面ACD， ∴EF∥CD.
又EF?平面EFGH，CD?平面EFGH， ∴CD∥平面EFGH. 【类题通法】
运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线，然后确定线线平行．证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系．
【对点训练】
1．求证：如果一条线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行． 已知：α∩β＝l，a∥α，a∥β，求证：a∥l. 证明：如图，过a作平面γ交α于b.
∵a∥α，∴a∥b.过a作平面ε交平面β于c.∵a∥β， ∴a∥c，∴b∥c.
又b?β且c?β，∴b∥β. 又平面α过b交β于l，∴b∥l. ∵a∥b，∴a∥l.
题型二、面面平行的性质及应用
【例2】 如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别
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交于B，A和D，C，M，N分别是AB，CD的中点．求证：MN∥平面α.
[证明] 过A作AE∥CD交平面α于点E，取AE的中点P， 连接MP，PN，BE，ED，AC. ∵AE∥CD，∴AE，CD确定平面AEDC.
则平面AEDC∩α＝DE，平面AEDC∩β＝AC. ∵α∥β，∴AC∥DE.
又∵P，N分别为AE，CD的中点， ∴PN∥DE.∵PN?α，DE?α，∴PN∥α. 又∵M，P分别为AB，AE的中点， ∴MP∥BE.又∵MP?α，BE?α，
∴MP∥α.∵MP，PN?平面MPN，且MP∩PN＝P， ∴平面MPN∥α.
又∵MN?平面MPN，∴MN∥α. 【类题通法】
1．把握面面平行性质定理的关键
(1)成立的条件：两平面平行，第三个平面与这两个平面均相交．
(2)定理的实质：面面平行?线线平行，体现了转化思想与判定定理交替使用，可实现线面、线线、面面平行间的相互转化．
2．面面平行的性质定理的几个推论
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
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(2)夹在两平行平面间的平行线段相等．
(3)经过平面外的一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． 【对点训练】
2.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2BC＝2a，E为AB上一点，将B点沿线段EC折起至点P，连接PA、PC、PD，取PD中点F，若有AF∥平面PEC，试确定E点的位置．
解：取PC的中点G，连接GE，GF.如右图． 由条件知GF∥CD，
EA∥CD，∴GF∥EA，则G，E，A，F四点共面． ∵AF∥平面PEC，
平面GEAF∩平面PEC＝GE，
∴AF∥GE.∴四边形GEAF为平行四边形． 111
∵GF＝CD，∴EA＝CD＝BA，
222∴E为AB的中点．
题型三、线面平行和面面平行的综合问题
【例3】 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，如图． (1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；
(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E＝EF＝FC.
[解] 证明：(1)因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD綊B1C1， 所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D. 又因为C1D?平面C1BD，AB1?平面C1BD. 所以AB1∥平面C1BD.
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同理B1D1∥平面C1BD.
又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1?平面AB1D1，B1D1?平面AB1D1， 所以平面AB1D1∥平面C1BD.
(2)如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接AO1与A1C交于点E. 又因为AO1?平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内， 所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点；
连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．下面证明A1E＝EF＝FC.
因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1， 平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F， 平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.
在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点， 即A1E＝EF；
同理可证OF∥AE，所以F是CE的中点， 即CF＝FE， 所以A1E＝EF＝FC. 【类题通法】
1．在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．
2．要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．
【对点训练】
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