考点 二分法的概念
题点 判断是否能用二分法求解零点 答案 C
解析 只有选项C中零点左右的函数值符号相反且函数图象连续，可以利用二分法求解． 2．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是( ) A．ε越大，零点的精确度越高 B．ε越大，零点的精确度越低 C．重复计算次数就是ε D．重复计算次数与ε无关 考点 二分法的概念 题点 二分法的概念 答案 B
解析 依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．
3．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程3x＋3x－8＝0的根落在区间( ) A．(1.25,1.5) C．(1.5,2)
B．(1,1.25) D．不能确定
考点 用二分法求函数零点的近似值 题点 用二分法判断函数零点所在的区间 答案 A
解析 易知f(x)在R上是增函数．由题意可知f(1.25)·f(1.5)＜0，故函数f(x)＝3x＋3x－8的零点落在区间(1.25,1.5)内．故选A.
2
4．用二分法求函数f(x)＝ln x－的零点时，初始区间大致可选在( )
xA．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(e，＋∞) 考点 用二分法求函数零点的近似值 题点 用二分法判断函数零点所在的区间 答案 B
2
解析 由于f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，
3f(2)·f(3)＜0，故初始区间可选(2,3)．
5．已知函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续不断，并且在区间(a，b)内有唯一零点，当a＝1.2，b＝1.4，精确度ε＝0.1时，应将区间(a，b)等分的次数至少为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 考点 二分法的概念 题点 分析二分法计算的次数 答案 B
6．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f(1)＝－2 f(1.25)＝－0.984 f(1.438)＝0.165
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.05)为( ) A．1.5 B．1.375 C．1.438 D．1.25 考点 用二分法求函数的近似解 题点 用二分法求方程的近似解 答案 C
解析 ∵f(1.406 5)<0，f(1.438)>0， ∴f(1.406 5)·f(1.438)<0，
∴该方程的根在区间(1.406 5,1.438)内， 又∵|1.406 5－1.438|＝0.031 5＜0.05， ∴方程的近似根为1.406 5或1.438.故选C.
7．设a是函数f(x)＝2x－log1x的零点，若x0>a，则f(x0)的值满足( )
2f(1.5)＝0.625 f(1.375)＝－0.260 f(1.406 5)＝－0.052 A．f(x0)＝0 C．f(x0)<0
B．f(x0)>0 D．以上都有可能
考点 用二分法求函数零点的近似值 题点 用二分法判断函数零点所在的区间 答案 B
解析 画出y＝2x与y＝log1x的图象(图略)，可知当x0>a时，2x0>log1x0，故f(x0)>0.
223
8．函数f(x)＝log3x－在区间[1,3]内有零点，则用二分法判断含有零点的区间为( )
2x3355
1，? B.?，2? C.?2，? D.?，3? A.??2??2??2??2?考点 用二分法求函数的近似解 题点 用二分法判断函数零点所在的区间 答案 C
3132解析 f(1)＝－<0，f(3)＝>0，f(2)＝log32－＝log32－log334＝log3＝log3224
433
334
5?16
<0，f??2?27
535555
＝log3－＝log3－log335＝log3>log3＝log3>0，因此，函数f(x)的零点在区间
2524
55227232
?2，5?内，故选C.
?2?二、填空题
9．用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是________．(填序号) ①f(x)在[a，b]上连续不断；②f(a)·f(b)<0； ③f(a)·f(b)>0；④f(a)·f(b)≥0. 考点 二分法的概念 题点 二分法的概念 答案 ①②
解析 由二分法适用条件直接可得．
10．若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0，f(1)·f(2)·f(4)<0，则下列命题正确的是________．(填序号)
①函数f(x)在区间(0,1)内有零点； ②函数f(x)在区间(1,2)内有零点； ③函数f(x)在区间(0,2)内有零点； ④函数f(x)在区间(0,4)内有零点．
考点 二分法的概念 题点 二分法的概念 答案 ④
解析 ∵f(0)>0，而由f(1)·f(2)·f(4)<0，知f(1)，f(2)，f(4)中至少有一个小于0，∴函数f(x)在(0,4)内有零点．
11．用二分法求方程x3－x2－1＝0的一个近似解时，现在已经将一个实数根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该实数根所在的区间为________． 考点 用二分法求函数零点的近似值 题点 用二分法判断函数零点所在的区间 3
1，? 答案 ??2?
3?1?3?f(1)＜0， 解析 令f(x)＝x3－x2－1，则f(1)＝－1＜0，f(2)＝3＞0，f ?＝＞0，所以f ?2?8?2?3
1，?. 故可断定该实数根所在的区间为??2?三、解答题
12．用二分法求方程x2－2＝0的一个正实数解的近似值．(精确到0.1) 考点 用二分法求函数零点的近似值 题点 用二分法求方程的近似解
解 令f(x)＝x2－2，由于f(0)＝－2＜0，f(2)＝2＞0，可确定区间[0,2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：
端点或中点横坐标 a0＝0，b0＝2 x0＝1 x1＝1.5 x2＝1.25 x3＝1.375 x4＝1.437 5
由上表的计算可知，区间[1.375,1.437 5]的长度为1.437 5－1.375＝0.062 5＜0.1.
计算端点或中点的函数值 定区间 f(0)＝－2，f(2)＝2 f(x0)＝－1＜0 f(x1)＝0.25＞0 f(x2)≈－0.438＜0 f(x3)≈－0.109＜0 f(x4)≈0.066＞0 [0,2] [1,2] [1,1.5] [1.25,1.5] [1.375,1.5] [1.375,1.437 5] 故1.4可作为所求方程的一个正实数解的近似值．
13．(2017·山东莱芜期中)已知函数f(x)＝ax3－2ax＋3a－4在区间(－1,1)上有一个零点． (1)求实数a的取值范围；
32
(2)若a＝，用二分法求方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根．
17考点 用二分法求函数零点的近似值 题点 用二分法求方程的近似解
解 (1)若a＝0，则f(x)＝－4，与题意不符，∴a≠0. 由题意，得f(－1)·f(1)＝8(a－1)(a－2)<0，
???a－1<0，?a－1>0，即?或? ???a－2>0?a－2<0，
∴1 故实数a的取值范围为(1,2)． 32(2)若a＝， 17 326428 则f(x)＝x3－x＋， 171717 60284 ∴f(－1)＝>0，f(0)＝>0，f(1)＝－<0， 1717171? ∴函数f(x)的零点在区间(0,1)上，又f ??2?＝0， 1∴方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根为. 2四、探究与拓展 14．设方程2x＋2x＝10的根为β，β所在区间为(n，n＋1)，则n＝________. 考点 用二分法求函数零点的近似值 题点 用二分法判断函数零点所在的区间 答案 2 解析 设f(x)＝2x＋2x－10，则f(x)在R上为单调增函数，又f(0)＝－9，f(1)＝－6，f(2)＝－2，f(3)＝4，∴f(2)·f(3)＜0，∴β∈(2,3)，n＝2. 15．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(质量比真金的略轻)．现只有一台天平，请问：利用二分法的思想，你至多几次就一定可以找出这枚假币？ 考点 二分法的概念
高中数学同步讲义必修一——第三章 3.1 3.1.2 用二分法求方程的近似解
