3.1.2 用二分法求方程的近似解
学习目标
1.了解二分法的原理及其适用条件.2.掌握
二分法的实施步骤.3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想．
知识点一 二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解． 知识点二 用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤： (1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε； (2)求区间(a，b)的中点c； (3)计算f(c)；
①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))； ③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．
(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)． 以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断．
1．如果函数零点两侧函数值同号，不适合用二分法求此零点近似值．( √ ) 2．要用二分法，必须先确定零点所在区间．( √ ) 3．用二分法最后一定能求出函数零点．( × )
4．达到精确度后，所得区间内任一数均可视为零点的近似值．( √ )
类型一 二分法的适用条件
例1 以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是( )
考点 二分法的概念
题点 判断是否能用二分法求解零点 答案 C
解析 使用二分法必先找到零点所在区间[a，b]，且f(a)·f(b)<0，但C中找不到这样的区间． 反思与感悟 运用二分法求函数的零点应具备的条件 (1)函数图象在零点附近连续不断． (2)在该零点左右函数值异号．
只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．
跟踪训练1 观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是( )
考点 二分法的概念
题点 判断是否能用二分法求解零点
答案 A
类型二 二分法的操作
例2 用二分法求函数f(x)＝x3－3的一个零点(精确度0.02)． 考点 用二分法求函数零点的近似值 题点 用二分法求方程的近似解 解 由于f(0)＝－3＜0， f(1)＝－2＜0，f(2)＝5＞0，
故可取区间(1,2)作为计算的初始区间． 用二分法逐次计算，列表如下：
区间 (1,2) (1,1.5) (1.25,1.5) (1.375,1.5) (1.437 5,1.5) (1.437 5,1.468 75) (1.437 5,1.453 125)
因为|1.453 125－1.437 5|＝0.015 625＜0.02， 所以函数f(x)＝x3－3的零点的近似值可取为1.437 5.
反思与感悟 用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算． 跟踪训练2 借助计算器或计算机用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解(精确度0.1)． 考点 用二分法求函数零点的近似值 题点 用二分法求方程的近似解
解 原方程即2x＋3x－7＝0，令f(x)＝2x＋3x－7，
用计算器或计算机作出函数f(x)＝2x＋3x－7的对应值表与图象如下：
x f(x)＝2x＋3x－7 0 －6 1 －2 2 3 3 10 4 21 5 40 6 75 7 142 8 273 … … 中点的值 1.5 1.25 1.375 1.437 5 1.468 75 1.453 125 中点函数值(或近似值) 0.375 －1.047 －0.400 －0.030 0.168 0.068
高中数学同步讲义必修一——第三章 3.1 3.1.2 用二分法求方程的近似解
