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第四节 数列求和
[考纲传真] 1.掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法．
1．公式法
(1)等差数列的前n项和公式：
na1＋annn－1Sn＝＝na1＋d；
2
2
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(2)等比数列的前n项和公式：
na1，q＝1，??
Sn＝?a1－anqa11－qn＝，q≠1.?1－q?1－q2．分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． 3．裂项相消法
(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． (2)裂项时常用的三种变形： ①②③
n111＝－； n＋1nn＋1
1
2n－11
1?1?1
－＝??；
2n＋12?2n－12n＋1?＝n＋1－n.
n＋n＋1
4．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解．
5．倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．
6．并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)f (n)类型，可采用两项合并求解．
例如，Sn＝100－99＋98－97＋…＋2－1 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
2
2
2
2
2
2
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1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝(2)当n≥2时，
1?11?1－＝??.( )
n－12?n－1n＋1?
2
3
a1－an＋1
.( ) 1－q(3)求Sn＝a＋2a＋3a＋…＋na之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．( )
(4)如果数列{an}是周期为k(k为大于1的正整数)的周期数列，那么Skm＝mSk.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．(教材改编)数列{an}的前n项和为Sn，若an＝A．1 1C. 6B [∵an＝
5B． 61D． 30
1
，则S5等于( )
nn＋1
2nn111
＝－， n＋1nn＋1
11115
∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－＋－＋…－＝.]
22366
3．(2016·广东中山华侨中学3月模拟)已知等比数列{an}中，a2·a8＝4a5，等差数列{bn}中，b4＋b6＝a5，则数列{bn}的前9项和S9等于( )
A．9 C．36
2
B．18 D．72
B [∵a2·a8＝4a5，即a5＝4a5，∴a5＝4， ∴a5＝b4＋b6＝2b5＝4，∴b5＝2，
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∴S9＝9b5＝18，故选B.]
4．若数列{an}的通项公式为an＝2＋2n－1，则数列{an}的前n项和Sn＝__________.
【导学号：66482259】
2
n＋1
n2
－2＋n [Sn＝
2－1
－2
1－21－2
n＋
n1＋2n－1
2
－n＝2
n＋1
－2＋n.]
2
5．3·2＋4·2＋5·2＋…＋(n＋2)·2＝__________. 4－
－3
n＋4
n1111
[设S＝3×＋4×2＋5×3＋…＋(n＋2)×n， 2222则12S＝3×111122＋4×23＋5×24＋…＋(n＋2)×2n＋1. 两式相减得11?n2S＝3×12＋??11
＋2?22＋23＋…＋2n??－2n＋1.
∴S＝3＋??11?2＋1
22＋…＋2n－1??n＋2?－2n
1?1?1?n－1?＝3＋2??－??2????－n＋2n＋4
n＝4－n.] 1－1222
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2
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分组转化求和
(2016·北京高考)已知{an}是等差数
列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．
b39
[解] (1)设等比数列{bn}的公比为q，则q＝＝＝3，
b23
所以b1＝＝1，b4＝b3q＝27，所以bn＝3设等差数列{an}的公差为d.
因为a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，所以1＋13d＝27，即d＝2. 所以an＝2n－1(n＝1,2,3，…). 5分 (2)由(1)知an＝2n－1，bn＝3因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3从而数列{cn}的前n项和
n－1
n－1
b2qn－1
(n＝1,2,3，…). 2分
.
. 7分
Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1
＝
n1＋2n－1
21－33－12＋＝n＋. 12分 1－32
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[规律方法] 分组转化法求和的常见类型
(1)若an ＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{an}的前n项和．
??bn，n为奇数，
(2)通项公式为an＝?
?cn，n为偶数?
的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差
数列，可采用分组求和法求和．
易错警示：注意在含有字母的数列中对字母的分类讨论．
[变式训练1] (2016·浙江高考)设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N.
(1)求通项公式an；
(2)求数列{|an－n－2|}的前n项和．
??a1＋a2＝4，
[解] (1)由题意得?
?a2＝2a1＋1，?
*
??a1＝1，
则?
?a2＝3.?
2分
又当n≥2时，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an， 所以数列{an}的通项公式为an＝3(2)设bn＝|3
n－1
*
n－1
，n∈N. 5分
*
－n－2|，n∈N，则b1＝2，b2＝1.
n－1
当n≥3时，由于3>n＋2，故bn＝3
n－1
－n－2，n≥3. 8分
设数列{bn}的前n项和为Tn，则T1＝2，T2＝3， 9
当n≥3时，Tn＝3＋
1－31－3
n－2
－
n＋7
2
n－2
3－n－5n＋11＝，
2
n2
2， n＝1，??n2
所以Tn＝?3－n－5n＋11*
， n≥2，n∈N.?2?
12分
裂项相消法求和 鼎尚出品
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(2016·重庆南开二诊)若An和Bn分别
表示数列{an}和{bn}的前n项的和，对任意正整数n，an＝2(n＋1)，3An－Bn＝4n.
(1)求数列{bn}的通项公式； (2)记cn＝
[解] (1)由于an＝2(n＋1)，∴{an}为等差数列，且a1＝4. 2分 ∴An＝
2
，求{cn}的前n项和Sn. An＋Bnna1＋an2
＝2
n4＋2n＋2
2
＝n＋3n，
2
2
∴Bn＝3An－4n＝3(n＋3n)－4n＝3n＋5n， 当n＝1时，b1＝B1＝8，
当n≥2时，bn＝Bn－Bn－1＝3n＋5n－[3(n－1)＋5(n－1)]＝6n＋2.由于b1＝8适合上式，∴bn＝6n＋2. 5分
(2)由(1)知cn＝
22
＝2 An＋Bn4n＋8n2
2
1?1?1
＝?－?，7分 4?nn＋2?
1??11??11??11?∴Sn＝??－?＋?－?＋?－?＋
4??13??24??35?
?1－1?＋…＋?1－1?＋?1－1?? ?46??n－1n＋1??nn＋2?????????
11?1?1
－＝?1＋－
2n＋1n＋2?4??1?31?1
＋＝－??. 12分
84?n＋1n＋2?
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[规律方法] 1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵捎，要注意消去了哪些项，保留了哪些项，从而达到求和的目的．
2．消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
[变式训练2] (2017·石家庄一模)已知等差数列{an}中，2a2＋a3＋a5＝20，且前10项和S10＝100.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝
1
anan＋1
，求数列{bn}的前n项和．
【导学号：66482260】
2a2＋a3＋a5＝4a1＋8d＝20，??[解] (1)由已知得?10×9
10ad＝10a1＋45d＝100，1＋?2?
??a1＝1，
解得?
?d＝2，?
3分
所以数列{an}的通项公式为an＝1＋2(n－1)＝2n－1. 5分 (2)bn＝1
2n－1
1?1?1
－＝??，8分
2n＋12?2n－12n＋1?
11?1?111
－所以Tn＝?1－＋－＋…＋? 2n－12n＋1?2?3351?1?n＝?1－＝. 12分 ?2n＋1?2n＋12?
错位相减法求和
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(2016·山东高考)已知数列{an}的前
n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.
(1)求数列{bn}的通项公式；
an＋1
(2)令cn＝
bn＋2
n＋1n，求数列{cn}的前n项和Tn.
[解] (1)由题意知当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5. 当n＝1时，a1＝S1＝11，符合上式． 所以an＝6n＋5. 2分 设数列{bn}的公差为d.
??a1＝b1＋b2，由?
?a2＝b2＋b3，???b1＝4，解得?
?d＝3.?
2
??11＝2b1＋d，即?
?17＝2b1＋3d，?
所以bn＝3n＋1. 5分
n＋1nn＋1
6n＋6
(2)由(1)知cn＝
3n＋3又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，
＝3(n＋1)·2. 7分
得Tn＝3×[2×2＋3×2＋…＋(n＋1)×22Tn＝3×[2×2＋3×2＋…＋(n＋1)×2
2
3
4
3
4
3n＋1
]，
n＋2
]，9分
n＋1
两式作差，得－Tn＝3×[2×2＋2＋2＋…＋2
n41－2n＋2?－n＋1×2?＝3×?4＋? 1－2??
－(n＋1)×2
n＋2
]
＝－3n·2
n＋2
，
n＋2
所以Tn＝3n·2. 12分
[规律方法] 1.如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，若{bn}的公比为
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参数，应分公比等于1和不等于1两种情况讨论．
2．在书写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，即公比q的同次幂项相减，转化为等比数列求和．
[变式训练3] (2016·广东肇庆第三次模拟)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝6，S5＝15.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bann＝2a，求数列{bn}的前n项和Tn.
n[解] (1)设等差数列{an}的公差为d，首项为a1. ∵S3＝6，S5＝15， ??3a1
1＋×3×3－1d＝6，
?2∴即??
a1＋d＝2，
??5a1
1
＋2×5×
5－1
d＝15，
??a
?
1＋2d＝3，
解得???
a1＝1，
?3分
?
d＝1.
∴{an}的通项公式为an ＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×1＝n. 5(2)由(1)得bnn＝
a2a＝nn，6分 n2
∴T123n－1nn＝2＋22＋23＋…＋2n－1＋2n，①
①式两边同乘1
2
， 得
12T123n－1nn＝22＋23＋24＋…＋2n＋2n＋1，② ①－②得112T111nn＝2＋22＋23＋…＋2n－2n＋1
1?
1－1n＝2??2???－n1nn＋1＝1－n－n＋1，10分1－1222
2∴T1nn＝2－2n－1－2
n. 12分
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[思想与方法]
解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：
(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．
(2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、倒序相加法等来求和． [易错与防范]
1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．
2．利用裂项相消法求和的注意事项：
(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项． (2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差与系数之积与原通项相等．如：若{an}是等差数列，
则
1?1?1?111?1
＝?－，＝?－??. anan＋1d?anan＋1?anan＋22d?anan＋2?1
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高考数学一轮复习第5章数列第4节数列求和教师用书文北师大版79
