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高考圆锥曲线中的定点和定值问题(题型总结超全)

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专题08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题

一、解答题 1.【省市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为,离心率为;圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点. (Ⅰ)求椭圆的标准方程;

(Ⅱ)证明:在轴上存在定点,使得为定值;并求出该定点的坐标. 【答案】(1)(2) 【解析】试题分析:(Ⅰ)设圆过椭圆的上、下、右三个顶点,可求得,再根据椭圆的离心率求得,可得椭圆的方程;(Ⅱ)设直线的方程为,将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标,计算得 。设x轴上的定点为,可得标。

,由定值可得需满足

,解得可得定点坐

解得。

∴椭圆的标准方程为. (Ⅱ)证明:

由题意设直线的方程为, 由消去y整理得设,,

要使其为定值,需满足,

解得.

故定点的坐标为.

点睛:解析几何中定点问题的常见解法

(1)假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所求定点; (2)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意.

2.【省市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为k的直线l经过点??1,0?与抛物线

C:y2?2px(p?0,p为常数)交于不同的两点M,N,当k?(1)求抛物线C的标准方程;

1时,弦MN的长为415. 2(2)过点M的直线交抛物线于另一点Q,且直线MQ经过点B?1,?1?,判断直线NQ是否过定点?若过定点,求出该点坐标;若不过定点,请说明理由. 【答案】(1)y?4x;(2)直线NQ过定点?1,?4?

2【解析】试题分析:(1)根据弦长公式即可求出答案; (2)由(1)可设Mt2,2t,Nt12,2t1,Qt22,2t2,则kMN?则MN:2x??t?t1?y?2tt1?0;

??????2, t?t1同理: MQ:2x??t?t2?y?2tt2?0

NQ:2x??t1?t2?y?2t1t2?0.

1由??1,0?在直线MN上?t?(1);

t1由?1,?1?在直线MQ上?2?t?t2?2tt2?0将(1)代入?t1t2??2?t1?t2??1 (2) 将(2)代入NQ方程?2x??t1?t2?y?4?t1?t2??2?0,即可得出直线NQ过定点.

(2)设Mt2,2t,Nt12,2t1,Qt22,2t2,则kMN=则MN:y?2t???????2t?2t12?, 22t?t1t?t1

同理: MQ:2x??t?t2?y?2tt2?0;

2x?t2即2x??t?t1?y?2tt1?0; t?t1??NQ:2x??t1?t2?y?2t1t2?0.

由??1,0?在直线MN上?tt1?1,即t?由?1,?1?在直线MQ上?2?t?t2?2tt2?0将(1)代入?t1t2??2?t1?t2??1 (2) 将(2)代入NQ方程?2x??t1?t2?y?4?t1?t2??2?0,易得直线NQ过定点?1,?4?

21(1); t13.【省市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物线C:y?mx?m?0?过点?1,?2?, P是C上一点,斜率为?1的直线l交C于不同两点A,B(l不过P点),且?PAB的重心的纵坐标为?(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标;

(2)记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,求k1?k2的值.

2【答案】(1)方程为y?4x;其焦点坐标为?1,0?(2)k1?k2?0

2. 3【解析】试题分析;(1)将?1,?2?代入y?mx,得m?4,可得抛物线C的方程及其焦点坐标;

2(2)设直线l的方程为y??x?b,将它代入y?4x得x2?(2b?2)x?b2?0,利用韦达定理,结合

2斜率公式以及?PAB的重心的纵坐标?2,化简可k1?k2 的值; 3

2, 3所以y1?y2?yp??2,所以yp?2,所以xp?1,

因为?PAB的重心的纵坐标为?所以k1?k2?又?y1?2??x2?1???y2?2??x1?1?

y1?2y2?2?y1?2??x2?1??y2?2??x1?1?, ??x1?1x2?1?x1?1??x2?1?????x1??b?2????x2?1?????x2??b?2????x1?1?

??2x1x2??b?1??x1?x2??2?b?2?

??2b2?2?b?1??b?2??2?b?2??0.

所以k1?k2?0.

x2y24.已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的短轴端点到右焦点F?1,0?的距离为2.

ab(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)过点F的直线交椭圆C于A,B两点,交直线l:x?4于点P,若PA??1AF,

PB??2BF,求证: ?1??2为定值.

x2y2??1;(2)详见解析. 【答案】(1) 43【解析】试题分析:(Ⅰ)利用椭圆的几何要素间的关系进行求解;(Ⅱ)联立直线和椭圆的方程,得到关

于x或y的一元二次方程,利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.

(Ⅱ)由题意直线AB过点F?1,0?,且斜率存在,设方程为y?k?x?1?, 将x?4代人得P点坐标为?4,3k?,

y?k?x?1? 由{x2 ,消元得?3?4ky2??1432?x2?8k2x?4k2?12?0,

8k2x1?x2?3?4k2 , 设A?x1,y1?, B?x2,y2?,则??0且{24k?12x1?x2?3?4k2PAx?4???1 方法一:因为PA??1AF,所以1.

AF1?x1 同理?2?PBBF?x2?4x?4x2?4,且1与异号,

1?x11?x21?x2?3x1?4x2?43? 所以?1??2????2????

1?x11?x21?x1?x12?? ??2?3?x1?x2?2?x1x2??x1?x2??1

??2?38k2?6?8k2??4k2?12?8k2?3?4k2

?0. 所以, ?1??2为定值0.

当x1?1?x2时,同理可得?1??2?0. 所以, ?1??2为定值0.

高考圆锥曲线中的定点和定值问题(题型总结超全)

专题08解锁圆锥曲线中的定点与定值问题一、解答题1.【省市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为,离心率为;圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)证明:在轴上存在定点,使得为定值;并求出该定点的坐标.【答案】(1)(2)【解析】试题分析:(Ⅰ)设圆过椭圆的上、下、右三个顶点,可求得
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