第五节 椭 圆
[考纲传真] 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用．
1．椭圆的定义
(1)我们把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．
(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；
③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程和几何性质
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．( )
(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( ) (4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
1
2．(教材改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方
2程是( )
A.＋＝1 34C.＋＝1 42
D [椭圆的焦点在x轴上，c＝1.
x2y2x2y2
B．＋＝1
43D．＋＝1 43
x2y2
x2y2
c1222
又离心率为＝，故a＝2，b＝a－c＝4－1＝3，
a2
故椭圆的方程为＋＝1.]
43
x2y2
y2
3．(2015·广东高考)已知椭圆＋2＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝( )
25mA．2 C．4
B．3 D．9
2
x2
B [由左焦点为F1(－4,0)知c＝4.又a＝5，∴25－m＝16，解得m＝3或－3.又m>0，故m＝3.]
4．(2016·全国卷Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离1
为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )
4
1A. 32C. 3
1B． 23D． 4
B [如图，|OB|为椭圆中心到l的距离，则|OA|·|OF|＝|AF|·|OB|，即bc＝a·，
2
bc1
所以e＝＝.] a2
5．椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B，当△FAB的周长最大
43时，△FAB的面积是__________．
3 [直线x＝m过右焦点(1,0)时，△FAB的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a＝8，即a＝2，
x2y2
b22×3
此时，|AB|＝2×＝＝3，
a2
1
∴S△FAB＝×2×3＝3.]
2
椭圆的定义与标准方程 (1)如图8-5-1所示，一圆形纸片的
圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是( )
A．椭圆 C．抛物线
B．双曲线 D．圆
高考数学一轮复习第8章平面解析几何第5节椭圆教师用书文北师大版
