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空间向量的基本概念及运算 【例1】 (1)已知|a|＝32，|b|＝4，a与b的夹角为135°，m＝a＋b，n＝a＋λb．若m⊥n，则λ＝( )
2
A．3 3C．2
2B．－3 3D．－2
(2)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2．给出以下结论：
→→→→
①SA＋SB＋SC＋SD＝0； →→→→
②SA＋SB－SC－SD＝0； →→→→
③SA－SB＋SC－SD＝0；
→→→→④SA·SB＝SC·SD； →→⑤SA·SC＝0．
其中正确结论的序号是________．
(1)D (2)③④ [(1)由题意知，m·n＝(a＋b)·(a＋λb) ＝|a|2＋λa·b＋a·b＋λ|b|2
＝18＋λ×32×4×cos 135°＋32×4×cos 135°＋λ×16＝6＋4λ． 3因为m⊥n，所以6＋4λ＝0，所以λ＝－2．
→→→→→→
(2)容易推出SA－SB＋SC－SD＝BA＋DC＝0，所以③正确；又因为底面ABCD→→→→
是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以SA·SB＝2·2·cos∠ASB，SC·SD＝→→→→2·2·cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是SA·SB＝SC·SD，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④．]
1．空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量．
2．空间向量的数量积
(1)空间向量的数量积的定义表达式a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉及其变式cos〈a，a·bb〉＝|a| ·
|b|是两个重要公式．
(2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如a2＝|a|2，a·b
a在b上的投影|b|＝|a|·cos θ等．
[跟进训练]
→
1．已知P是正六边形ABCDEF外一点，O是正六边形ABCDEF的中心，则PA→→→→→
＋PB＋PC＋PD＋PE＋PF等于( )
→A．PO →C．6PO
→B．3PO D．0
C [∵O是正六边形ABCDEF的中心，
∴O是对角线AD的中点，也是对角线BE的中点， 还是对角线CF的中点．
→→→→→→→PA＋PD→PE＋PB→PC＋PF∴PO＝2，PO＝2，PO＝，
2→→→→→→→
∴PA＋PB＋PC＋PD＋PE＋PF＝6PO，故选C．]
空间向量的坐标运算 1【例2】 (1)已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝2x－2a，则x＝( ) A．(0,3，－6) C．(0,6，－6)
B．(0,6，－20) D．(6,6，－6)
(2)已知向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，a∥b，b⊥c． ①求向量a，b，c；
②求a＋c与b＋c所成角的余弦值． 1
(1)B [由b＝2x－2a得x＝4a＋2b，
又4a＋2b＝4(2,3，－4)＋2(－4，－3，－2)＝(0,6，－20)， 所以x＝(0,6，－20)．]
(2)解：①∵向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，且a∥b，b⊥c，
2?x1
?＝＝∴?1y－2??3＋y－2z＝0
?x＝－1，
，解得?y＝－1，
?z＝1，
∴向量a＝(－1,1,2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3,1,1)． ②∵a＋c＝(2,2,3)，b＋c＝(4,0，－1)， ∴(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5， |a＋c|＝22＋22＋32＝17，|b＋c| ＝42＋02＋?－1?2＝17， ∴a＋c与b＋c所成角的余弦值为
?a＋c?·?b＋c?5
＝．
|a＋c||b＋c|17
熟记空间向量的坐标运算公式,设a＝?x1，y1，z1?，b＝?x2，y2，z2?， ?1?加减运算：a±b＝?x1±x2，y1±y2，z1±z2?. ?2?数量积运算：a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2. ?3?向量夹角：cos〈a，b〉＝?4?向量长度：设
.
M1?x1，y1，z1?，M2?x2，y2，z2?，,则
.
提醒：在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算.
[跟进训练]
2．在空间直角坐标系中，已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC一定是( )
A．等腰三角形 C．直角三角形
B．等边三角形 D．等腰直角三角形
→→→→C [∵AB＝(3,4，－8)，AC＝(5,1，－7)，BC＝(2，－3,1)，∴|AB|＝→→
32＋42＋?－8?2＝89，|AC|＝52＋12＋?－7?2＝75，|BC|＝22＋?－3?2＋1＝→→→
14，∴|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，∴△ABC一定为直角三角形．]
利用空间向量证明平行、垂直问题
【例3】 在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，点E，F分别是PB，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2．
求证：(1)EF∥平面ABD； (2)平面PAD⊥平面PDC．
[证明] (1)以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)．因为点E，F分别是PB，1??11?→?1??→
0，1，，0，，－1，0??????，PD的中点，所以F，E，FE＝BD＝(－1，2，0)，2??22???2?1→→
FE＝－2BD，
即EF∥BD，又BD?平面ABD，EF?平面ABD， 所以EF∥平面ABD．
→→→→→
(2)由(1)可知PB＝(1,0，－1)，PD＝(0,2，－1)，AP＝(0,0,1)，AD＝(0,2,0)，DC＝(1,0,0)，
→→→→因为AP·DC＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD·DC＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0， →→→→
所以AP⊥DC，AD⊥DC，即AP⊥DC，AD⊥DC． 又AP∩AD＝A， 所以DC⊥平面PAD．
2020-2021学年人教A版数学选修2-1教师用书：第3章 章末综合提升
