第一章 集合与常用逻辑用语
1.2 常用逻辑用语
1.2.1 命题与量词
考点1命题及命题的真假
1.(2019·沈阳四中月考)已知下列语句:①一束美丽的花;②x>3;③2是一个偶数;④若x=2,则x2-5x+6=0。其中是命题的个数是( )。 A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B
解析：①陈述句,但未表示判断;②表示判断,但是缺少必要的陈述条件;③是陈述句且有判断,是命题;④是陈述句,也有判断,是命题。故选B。
2.(2019·新泰二中期中)下列说法中正确的是( )。 A.横坐标为0的点在x轴上
B.点M(-3,-5)到x轴的距离为-5
C.在平面直角坐标系内,点A(1,-4)和点B(-4,1)表示同一个点 D.若a=0,则点P(2,a)在x轴上 答案：D 解析：A.横坐标为0的点在y轴上,故A错误;B.点M(-3,-5)到x轴的距离为|-5|=5,故B错误;C.在平面直角坐标系内,点A(1,-4)和点B(-4,1)表示不同的点,故C错误;D.若a=0,则点P(2,a)在x轴上,故D正确。故选D。
3.(2019·泰安三中月考)下列命题是真命题的是( )。 A.4∈{2,3}
B.1既是奇数又是素数 C.2即是偶数又是素数
D.周长或面积相等的两个三角形全等 答案：C 解析：A.4?{2,3},故A错;B中1不是素数,故B错;C中2是偶数也是素数,故C正确;D中周长或面积相等的两个三角形不一定全等,所以D错。故选C。
4.已知非空集合M∩P=?,有下列命题:①M的元素都不是P的元素;②M中有属于P的元素;③M中没有P的元素;④M中元素不都是P的元素。其中,真命题的个数为( )。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：B 解析：
∵M,P均为非空集合,且M∩P=?,∴M中不存在P中元素,
故①③为真命题,②④为假命题。选B。
2
5.(2019·海淀区实验中学调考)有下列语句:①集合{a,b}有4个子集;②x-4≤0;③今天天气真好啊!④若A∪B=A∩B,则A=B。其中真命题的序号为 。 答案：①④
2
解析：①集合{a,b}的子集个数为2=4,所以是真命题;②只有一个不等式,不属于命题;③感叹句,不是命题;④若交集等于并集,只有集合相等一种情况,所以为真命题。
6.(2019·交大附中高二期中)下列语句中是命题的有 ,其中是真命题的有 (填序号)。
①“北京是中国的首都吗?”;②“一个数不是正数就是负数”;③“在一个三角形中,大角所对的边大于小角所对的边”;④“若x+y为有理数,则x,y都是有理数”;⑤作一个三角形。
答案：②③④ ③
解析：①句子不是陈述句,所以不是命题;②陈述句表示判断,所以是命题,但是数字除了正数、负数外还有0,所以是假命题;③表示判断的陈述句,是命题,三角形中大角对大边,所以命题为真命题;④表示判断的陈述句,是命题,若x=√2,y=-√2,x+y=0为有理数,但是x,y不是有理数,所以为假命题;⑤陈述句但未表示判断,所以不是命题。 考点2含一个量词的命题
7.(2019·临沂师范学院附属中学联考)命题“存在一个四边形没有外接圆”是 量词命题(填“全称”“存在”)。 答案：存在
8.(2019·辽阳一中高二月考)下列命题中是全称量词命题的是( )。 A.圆有内接四边形 B.√3>√2
C.存在x0∈(0,1),使2x0+1=0
D.若三角形的三边长分别为3,4,5,则这个三角形为直角三角形 答案：A
解析：含有存在量词“有些”“至少”“存在”的命题都是存在量词命题;含有全称量词“任意”“所有”“全部”的命题都是全称量词命题。A中命题可改写为所有的圆都有内接四边形,是全称量词命题,其余三个命题均不是全称量词命题。故选A。
9.(2019·威海一中高三模拟)下列命题中全称量词命题的个数为( )。
①平行四边形的对角线互相平分;②梯形有两边平行;③存在一个菱形,它的四条边不相等。 A.0 B.1 C.2 D.3 答案：C
解析：①②满足“对所有的……都成立“的特点,是全称量词命题。③含有“存在”,是存在量词命题。
10.下列语句不是全称量词命题的是( )。 A.任何一个实数乘以零都等于零 B.自然数都是正整数
C.高二(1)班绝大多数同学是团员 D.每一个向量都有大小 答案：C
解析：“高二(1)班绝大多数同学是团员”,即“高二(1)班有的同学不是团员”,是存在量词命题,故选C。
11.下列命题,是全称量词命题的是 ;是存在量词命题的是 。 ①正方形的四条边相等;
②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形; ③正数的平方根不等于0; ④至少有一个正整数是偶数。 答案：①②③ ④ 解析：①是指所有的正方形的四条边相等,②是指任何含有两个45°角的三角形都是等腰直角三角形,③是指任何正数的平方根都不等于0,都有全部的含义,所以都是全称量词命题;而④至少有一个正整数是偶数,含有存在量词“至少”,属于存在量词命题。故全称量词命题有①②③,存在量词命题有④。
12.指出下列语句中的全称量词或存在量词。 (1)每个人都喜欢学习; 答案：全称量词:每个; (2)有时夏天下雪;
答案：存在量词:有时; (3)有些中国人爱读书; 答案：存在量词:有些; (4)所有偶数都大于0。 答案：全称量词:所有。
13.用符号“?”与“?”表示含有量词的命题。 (1)实数的平方大于等于0;
2
答案：?x∈R,x≥0;
(2)存在一对实数,使2x+3y+3>0成立; 答案：?(x,y)(x∈R,y∈R),2x+3y+3>0; (3)勾股定理。
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答案：?直角三角形,直角边为a,b,斜边为c,a+b=c。 14.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题。
(1)线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等; 答案：全称量词命题; (2)负数的平方是正数; 答案：全称量词命题;
(3)有些三角形不是等腰三角形; 答案：存在量词命题; (4)有些菱形是正方形。 答案：存在量词命题。
考点3全称量词命题及存在量词命题的真假
15.(2019·抚顺新宾高中高二月考)下列全称量词命题中真命题的个数是( )。 ①末位是0或5的整数,可以被5整除;②钝角都相等;③三棱锥的底面是三角形。 A.0 B.1 C.2 D.3 答案：C 解析：①正确;②错误,钝角不一定都相等,如120°,150°是钝角,但不相等;③正确,三棱锥四个面都是三角形。
16.(2018·莱芜五中模拟)已知三个命题如下:
2
①所有的素数都是奇数;②?x∈R,(x-1)+1≥1;③有的无理数的平方还是无理数。 则这三个命题中既是全称量词命题又是真命题的个数是( )。 A.0 B.1 C.2 D.3 答案：B
2
解析：对于命题①,其结论是错误的,如2是素数但不是奇数;对于命题②,因为?x∈R,(x-1)
2
≥0,所以?x∈R,(x-1)+1≥1,命题成立,且该命题为全称量词命题;对于命题③,因为该命题中含有“有的”,所以该命题属于存在量词命题,不是全称量词命题。故应选B。
17.(2019·汇文中学高二测试)给出四个命题:①末位数是偶数的整数能被2整除;②有的菱形是正方形;③?x∈R,x>0;④?x∈R,2x+1是奇数。 则下列说法正确的是( )。 A.四个命题都是真命题 B.①②是全称量词命题 C.②③是存在量词命题
D.四个命题中有两个假命题 答案：C
18.(2019·朝阳区二高高三模拟)下列命题是真命题的是( )。 A.每个二次函数的图像与x轴都有两个不同的交点 B.对任意非正数c,若a≤b+c,则a≤b
C.存在一个菱形不是平行四边形
2
D.存在一个实数x使不等式x-3x+7<0成立 答案：B 解析：对于A,是全称量词命题,但是假命题,故A错误;对于B,是全称量词命题,是真命题,故B正确;对于C,是存在量词命题,但是假命题,故C错误;对于D,是存在量词命题,但是假命题,故D错误。故选B。
19.下列全称量词命题中是假命题的是 。 ①2x+1是整数(x∈R); ②对所有的x∈R,x>3;
2
③对任意的x∈Z,2x+1为奇数。 答案：①②
解析：①是全称量词命题,是假命题,当x=0.6时,2x+1=2.2,不是整数;②是全称量词命题,是
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假命题,当x=1时,x<3;③是全称量词命题,是真命题,∵x∈Z,∴2x必为偶数,∴2x+1必为奇数。故答案为①②。
20.(2019·海淀区外国语学校高二测试)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断真假。
(1)对所有的实数a,b,关于x的方程ax+b=0恰有唯一解; 答案：该命题是全称量词命题。
当a=0,b≠0时方程ax+b=0无解,故该命题为假命题。 (2)存在实数x,使得
1??2-2??+3
=。
4
3
答案：该命题是存在量词命题。 ∵x-2x+3=(x-1)+2≥2,∴??2-2??+3≤2<4。
故该命题是假命题。
21.(2019·湖北武汉二中高二月考)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断真假。
(1)正方形对角线互相垂直平分; 答案：全称量词命题,真命题; (2)所有中国人都讲汉语; 答案：全称量词命题,假命题; (3)有些数比它的平方大; 答案：存在量词命题,真命题; (4)有些实数的平方根是无理数。 答案：存在量词命题,真命题。
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新教材高中数学1.2常用逻辑用语1.2.1命题与量词一课一练(含解析)人教B版必修一
