《线性代数》教学教案—02矩阵

第2章 矩阵

授课序号01

教 学 基 本 指 标 教学课题 第2章 第1节 矩阵的概念及运算 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 对角矩阵、三角矩阵、教学重点 矩阵的定义、单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、教学难点 单位矩阵、对称矩阵、反对称矩阵及分块矩阵的定义 对称与反对称矩阵及分块矩阵 参考教材 同济版《线性代数》 作业布置 课后习题 大纲要求 理解矩阵的概念,了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵及分块矩阵。 教 学 基 本 内 容 一． 矩阵的定义 m?n个数aij?i?1,2,1. 矩阵的定义：,m;j?1,2,?a11?a,n? 排成的m行n列的数表?21???am1a12a22am2a1n??a2n???amn?称为一个m?n矩阵，简记为aij，有时为了强调矩阵的行数和列数，也记为aij????m?n. 数aij位于矩阵aij的??第i行第j列，称为矩阵的?i,j?元素，其中i称为元素aij的行标，j称为元素aij的列标. 2. 矩阵的表示：一般地，常用英文大写字母A,B,或字母?,?,?,表示矩阵，例如A?aij，B?bij，????Am?n，Bm?n等等. 二．一些特殊矩阵： 1．1?1的矩阵A??a?，也记为A?a. 2．行矩阵，也称为n维行向量：?a1,a2,,an?. ?a1???a2??n3．列矩阵，也称为维列向量：. ?????an??a11?a214．n阶方阵????an1a12a22an2a1n??a2n?. ??ann?0??a11??00??与上三角矩阵????ann??0?a110?a21a225．下三角矩阵????an1an2??1?06．对角矩阵????00a12a220a1n??a2n?. ??ann??200??0?，n阶对角矩阵也常记为??diag(?1,?2,???n?,?n). ?a?07．数量矩阵????00a00??0?，简记为aE或aI. ??a?0100??0?. ??1??1?08．n阶单位矩阵E?????09．梯形矩阵：设A?(aij)m?n，若当i?j时，恒有aij?0，且各行第一个非零元素前面零元素的个数随行数增大而增多，则称该矩阵为上梯形矩阵；若当i?j时，恒有aij?0，且各行最后一个非零元素后面零元素的个数随行数增大而减少，则称该矩阵为下梯形矩阵. 10.转置矩阵：设A?(aij)m?n，把矩阵A的行换成同序数的列而得到的新矩阵，叫做矩阵A的转置矩阵，记为AT. 11.对称矩阵：设A为n阶方阵，如果满足A?A，即aij?aji(i,j?1,2,TT,n)，则称为n阶对称矩阵. 12.反对称矩阵：设A为n阶方阵，如果满足A??A，即aij??aji(i?j)，aii?0，(i,j?1,2,,n)，则称为n阶反对称矩阵.反对称矩阵的特点是：主对角线元素全为0，而关于主对角线对称的元素互为相反数. 12.分块矩阵：设A?(aij)m?n，将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多小矩阵，每个小矩阵称为A的一个子块，以这些子块为“元素”的形式上的矩阵称为分块矩阵. 授课序号02

教 学 基 本 指 标 教学课题 第2章 第2节 矩阵的运算 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 矩阵的线性运算、乘法、转置、伴随矩阵，以及教学难点 伴随矩阵 方阵的行列式 参考教材 同济版《线性代数》 作业布置 课后习题 大纲要求 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置、伴随矩阵，以及它们的运算规律，掌握方阵的行列式。 教 学 基 本 内 容 一．矩阵的线性运算： 1．同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等，则称这两个矩阵为同型矩阵. 2．矩阵相等：如果两个同型矩阵A?(aij)m?n和B?(bij)m?n中所有对应位置的元素都相等， 即aij?bij，其中i?1,2,,m;j?1,2,,n，则称矩阵A和B相等，记为A?B. 3．负矩阵：对于矩阵A?(aij)m?n，称矩阵(?aij)m?n为矩阵A的负矩阵，记为?A. 4．矩阵的加（减）法：设A?(aij)m?n和B?(bij)m?n是两个同型矩阵，则矩阵A与B的和为 ?a11?b11a12?b12?a?ba22?b22A?B??2121???am1?bm1am2?bm2矩阵A与B的差为A?B?aij?bija1n?b1n??a2n?b2n?， ??amn?bmn???m?n. 4. 矩阵加法满足的运算规律：设A,B,C是任意三个m?n矩阵，则 （1）交换律：A?B?B?A； （2）结合律：?A?B??C?A??B?C?； （3）A?O?O?A=A. 5. 数乘矩阵：设矩阵A?(aij)m?n，则kA?Ak?kaij6. 数乘矩阵的运算满足的运算规律： （1）?A?A?； （2）(??)A??(?A)； （3）(???)A??A??A； （4）?(A?B)??A??B. ??m?n. 二．线性变换与矩阵乘法 1．线性变换：m个变量y1,y2,…,ym用n个变量x1,x2,…,xn线性地表示,即 ?y1?a11x1?a12x2??a1nxn?y?ax?ax??ax?2112222nn ?2 ???ym?am1x1?am2x2??amnxn给定n个数x1,x2,…,xn,经过线性计算得到了m个数y1,y2,…,ym,从变量x1,x2,…,xn到变量m?ny1,y2,…,ym的变换就定义为线性变换.线性变换的系数aij构成矩阵,称A??aij?为系数矩阵. 2．线性变换与矩阵之间存在着一一对应的关系：给定了线性变换,就确定了一个系数矩阵；反之，若给出一个矩阵作为线性变换的系数矩阵,则线性变换也就确定了. 3．设有两个线性变换 ?y1?a11x1?a12x2?a13x3 (2.1) ??y2?a21x1?a22x2?a23x3?x1?b11t1?b12t2??x2?b21t1?b22t2 (2.2) ?x?bt?bt311322?3?a11线性变换(2.1)对应的矩阵A???a21a12a22?b11b12?a13?,线性变换(2.2)对应的矩阵B??b21b22? ???a23???b31b32??为了求出从t1,t2到y1,y2的线性变换,可将(2.2)代入(2.1),得 ?y1?(a11b11?a12b21?a13b31)t1?(a11b12?a12b22?a13b32)t2 （2.3） ??y2?(a21b11?a22b21?a23b31)t1?(a21b12?a22b22?a23b32)t2 线性变换（2.3）可看成是先作线性变换（2.2）再作线性变换（2.1）的结果.我们把线性变换(2.3)对应的矩?a11b11?a12b21?a13b31a11b12?a12b22?a13b32?阵记为?? ab?ab?abab?ab?ab21122222232??211122212331我们把线性变换(2.3)称为线性变换(2.1)与(2.2)的乘积,相应地,其所对应的矩阵定义为线性变换(2.1)与线性变换(2.2)所对应的矩阵的乘积,即 ?a11?a?21a12a22b??ba13??1112??a11b11?a12b21?a13b31b21b22?????a23??a21b11?a22b21?a23b31??bb?3132?a11b12?a12b22?a13b32? ?a21b12?a22b22?a23b32?4．定义：设矩阵A?aij??m?s,矩阵B?bij??s?n,则它们的乘积AB等于矩阵C?cij??m?n,记作AB?C,其中cij??ai1,ai2,?b1j???b2j,ais????ai1b1j?ai2b2j?????b???sj??aisbsj,(i?1,2,,m;j?1,2,,n) 5.注意：（1）第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数,两个矩阵的乘法才有意义，即应有Am?sBs?n?Cm?n. （2）乘积矩阵C的元素cij是把矩阵A中的第i行元素与矩阵B中的第j列元素对应相乘后再相加得到的,即cij??abt?1sittj. 6．矩阵乘法与数的乘法的不同之处： （1）矩阵乘法不满足交换律.这是因为AB与BA不一定都有意义；即使AB与BA都有意义,也不一定有AB?BA成立. （2）对于方阵A、B,如果有AB?BA,则称矩阵A、B可交换. （3）在矩阵乘法的运算中，“若AB?O，则必有A?O或B?O”这个结论不一定成立. （4）矩阵乘法的消去律不成立,即“若AB?AC且A?O，则B?C”这个结论不一定成立. 7.矩阵乘法满足的运算规律：假设以下运算都有意义 (1)结合律 (AB)C?A(BC). (2)分配律 A(B?C)?AB?AC,(B?C)A?BA?CA. (3)?AB8.EmAm?n?(?A)B?A(?B). ?Am?n,Am?nEn?Am?n或写成EA?AE?A,即单位矩阵E在矩阵乘法中的作用类似于数1. kk9.方阵A幂:设A为n阶方阵, k是正整数,规定A?AA10．矩阵A的多项式：设函数f(x)?amx?am?1xmm?1A,特别地，当为非零方阵时，规定A0?E. ??a1x?a0,它是变量x的一个m次多项式, 称 f(A)?amAm?am?1Am?1?三．矩阵的转置 ?a1A?a0E矩阵A的m次多项式.