第2课时 正、余弦定理的综合问题
[基础题组练]
1．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝7，c＝4，cos A＝则△ABC的面积等于( )
A．37 C．9
解析：选B.因为cos A＝
B.37
2
7，4
9D． 2
73137，则sin A＝，所以S△ABC＝×bcsin A＝，故选B. 4422
π
2．在△ABC中，已知C＝，b＝4，△ABC的面积为23，则c＝( )
3A．27 C．22
B.7 D．23
13222
解析：选D.由S＝absin C＝2a×＝23，解得a＝2，由余弦定理得c＝a＋b－
222abcos C＝12，故c＝23.
3．(2024·河南三市联考)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，sin A∶sin B＝1∶3，c＝2cos C＝3，则△ABC的周长为( )
A．3＋33 C．3＋23
B．23 D．3＋3
解析：选C.因为sin A∶sin B＝1∶3，所以b＝3a，
a2＋b2－c2a2＋（3a）2－c23
由余弦定理得cos C＝＝＝，
2ab22a×3a又c＝3，所以a＝3，b＝3，所以△ABC的周长为3＋23，故选C.
4．(2024·湖南师大附中4月模拟)若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
b＝2，c＝5，△ABC的面积S＝
A．1 C.13
5
cos A，则a＝( ) 2
B.5 D．17
511cos A＝bcsin A＝5sin A，所以sin A＝cos 222
解析：选A.因为b＝2，c＝5，S＝
A.
152252222
所以sinA＋cosA＝cosA＋cosA＝cosA＝1.易得cos A＝. 445
25222
所以a＝b＋c－2bccos A＝4＋5－2×2×5×＝9－8＝1，所以a＝1.故选A.
55．(2024·开封市定位考试)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为43，且2bcos A＋a＝2c，a＋c＝8，则其周长为( )
A．10 C．8＋3
B．12 D．8＋23
1
解析：选B.因为△ABC的面积为43，所以acsin B＝43.因为2bcos A＋a＝2c，所
2以由正弦定理得2sin Bcos A＋sin A＝2sin C，又A＋B＋C＝π，所以2sin Bcos A＋sin A＝2sin Acos B＋2cos Asin B，所以sin A＝2cos B·sin A，因为sin A≠0，所以cos B1π
＝，因为0＜B＜π，所以B＝，所以ac＝16，又a＋c＝8，所以a＝c＝4，所以△ABC23为正三角形，所以△ABC的周长为3×4＝12.故选B.
π2
6．在△ABC中，A＝，bsin C＝42sin B，则△ABC的面积为 ．
4解析：因为bsin C＝42sin B， 所以bc＝42b，所以bc＝42，
2
2
S△ABC＝bcsin A＝×42×
答案：2
12122
＝2. 2
π
7．(2024·江西赣州五校协作体期中改编)在△ABC中，A＝，b＝4，a＝23，则B3＝ ，△ABC的面积等于 ．
π4×sin
3bsin A解析：△ABC中，由正弦定理得sin B＝＝＝1.又B为三角形的内角，
a23π2222
所以B＝，所以c＝b－a＝4－（23）＝2，
2
1
所以S△ABC＝×2×23＝23.
2π
答案： 23
2
sin A5c8．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且B为锐角，若＝，sin
sin B2bB＝
757，S△ABC＝，则b的值为 ． 44sin A5ca5c5解析：由＝?＝?a＝c，①
sin B2bb2b2
15771
由S△ABC＝acsin B＝且sin B＝得ac＝5，②
2442联立①，②得a＝5，且c＝2. 由sin B＝
73
且B为锐角知cos B＝， 44
32
由余弦定理知b＝25＋4－2×5×2×＝14，b＝14.
4答案：14
3
9．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a.
7(1)求sin C的值；
(2)若a＝7，求△ABC的面积．
3
解：(1)在△ABC中，因为∠A＝60°，c＝a，
7所以由正弦定理得sin C＝
csin A3333
＝×＝. a7214
3
(2)因为a＝7，所以c＝×7＝3.
7
1222222
由余弦定理a＝b＋c－2bccos A得7＝b＋3－2b×3×，
2解得b＝8或b＝－5(舍)．
113
所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×8×3×＝63.
222
10．(2024·福建五校第二次联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且3
acos C＝(2b－3c)cos A.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．
解：(1)由正弦定理可得，3sin Acos C＝2sin Bcos A－3sin Ccos A， 从而3sin(A＋C)＝2sin Bcos A， 即3sin B＝2sin Bcos A.
又B为三角形的内角，所以sin B≠0，于是cos A＝
3
， 2
π
又A为三角形的内角，所以A＝.
6
(2)由余弦定理a＝b＋c－2bccos A，得4＝b＋c－2bc×
2
2
2
2
2
3
≥2bc－3bc， 2
1
所以bc≤4(2＋3)，所以S△ABC＝bcsin A≤2＋3，故△ABC面积的最大值为2＋3.
2
[综合题组练]
1．(2024·昆明市诊断测试)在平面四边形ABCD中，∠D＝90°，∠BAD＝120°，AD＝1，
AC＝2，AB＝3，则BC＝( )
A.5 C.7
B.6 D．22
解析：选C.如图，在△ACD中，∠D＝90°，AD＝1，AC＝2，所以∠CAD＝60°.又∠BAD＝120°，所以∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝60°.在△ABC中，由余弦定理得BC＝AB＋AC－2AB·ACcos∠BAC＝7，所以BC＝7.故选C.
2
2
2
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，
asin A＋bsin B－csin C23
＝a，
sin Bsin C3
a＝23.若b∈[1，3]，则c的最小值为 ．
asin A＋bsin B－csin C23a2＋b2－c23
解析：由＝a，得＝sin C．由余弦定理可知
sin Bsin C32ab3a2＋b2－c21
cos C＝，即3cos C＝3sin C，所以tan C＝3，故cos C＝，所以c2＝b2－23
2ab2b＋12＝(b－3)2＋9，因为b∈[1，3]，所以当b＝3时，c取最小值3.
答案：3
3．(2024·重庆市学业质量调研)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为
3
accos B，且sin A＝3sin C. 2
(1)求角B的大小；
(2)若c＝2，AC的中点为D，求BD的长． 13
解：(1)因为S△ABC＝acsin B＝accos B，
22所以tan B＝3.
π
又0＜B＜π，所以B＝. 3
(2)sin A＝3sin C，由正弦定理得，a＝3c，所以a＝6.
由余弦定理得，b＝6＋2－2×2×6×cos 60°＝28，所以b＝27.
2
2
2
b2＋c2－a2（27）2＋22－627
所以cos A＝＝＝－.
2bc142×2×27
因为D是AC的中点，所以AD＝7.
所以BD＝AB＋AD－2AB·ADcos A＝2＋(7)－2×2×7×?－所以BD＝13.
4．(2024·原创题)在△ABC中，sin A∶cos B∶tan A＝12∶16∶15. (1)求sin C；
→→
(2)若AB＝8，点D为△ABC外接圆上的动点，求DA·DC的最大值．
43
解：(1)由sin A∶tan A＝12∶15，得cos A＝，故sin A＝，所以由sin A∶cos B5543
＝12∶16，得cos B＝，故sin B＝，于是sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B5524
＝. 25
(2)在△ABC中，由＝，解得AC＝5，由A，B，C，D四点共圆及题干条件，
sin Bsin C→→
可知∠ADC＝∠ABC时DA·DC取得最大值，
2
2
2
2
2
??7?
?＝13. 14?
ACABm2＋n2－524
设DA＝m，DC＝n，在△DAC中，由余弦定理的推论得cos∠ADC＝＝，
2mn5
822
故mn＝m＋n－25≥2mn－25， 5125
解得mn≤，
2
4125→→4
故DA·DC＝mn≤×＝50，
552510
当且仅当m＝n＝时，等号成立，
2→→
故DA·DC的最大值为50.
2024版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第6讲正弦定理和余弦定理第2课时正、余弦定理的综合问题
