第二讲 圆的方程与位置关系
一.求圆的方程
1.圆的定义:在平面内,到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆. 2.圆的标准方程
(1) 若圆的圆心为C(a,b),半径为r,则该圆的标准方程为:. (2) 方程表示圆心为C(a,b),半径为r的圆. 3.圆的一般方程
(1)任意一个圆的方程都可化为:.这个方程就叫做圆的一般方程. (2) 对方程:.
①若,则方程表示以,为圆心,为半径的圆; ②若,则方程只表示一个点,; ③若,则方程不表示任何图形. 4.点与⊙C的位置关系 (1)|AC|
设两圆的圆心分别为、,圆心距为,半径分别为、(). (1)两圆相离:无公共点;,方程组无解.
(2)两圆外切:有一个公共点;,方程组有一组不同的解. (3)两圆相交:有两个公共点;,方程组有两组不同的解. (4)两圆内切:有一公共点;,方程组有一组不同的解.
(5)两圆内含:无公共点;,方程组无解.特别地,时,为两个同心圆.
【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》,努力请从今日始 考向一 圆的方程
【例1】(1)圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,3)的圆的方程为 。 (2)求经过点A(-2,-4),且与直线l:x+3y-26=0相切于点B(8,6)的圆的方程.
?11?2?3?212522
【答案】(1)x+(y–3)=1 (2)?x-?+?y+?=. 2??2?2?
【解析】(1)x+(y–3)=1由题意,可设圆心坐标为(0,a).
∵圆的半径为1,∴圆的标准方程为x+(y–a)=1,又圆过点(1,3),∴1+(3–a)=1,解得
2
2
2
2
22
a=3,
∴所求圆的方程为x+(y–3)=1. (2)方法一 设圆心为C,
6+2DE??22
-,-所求圆的方程为x+y+Dx+Ey+F=0,则圆心C??,∴kCB=D.
2??2
8+26+
2?1?
∵圆C与直线l相切,∴kCB·kl=-1,即·?-?=-1.
D?3?8+2又有(-2)+(-4)-2D-4E+F=0, 又8+6+8D+6E+F=0.
2
2
2
22
2
EE ①
② ③
联立①②③,可得D=-11,E=3,F=-30, ∴所求圆的方程为x+y-11x+3y-30=0. 方法二 设圆的圆心为C,则CB⊥l, 可得CB所在直线的方程为y-6=3(x-8), 即3x-y-18=0.
①
2
2
由A(-2,-4),B(8,6),得AB的中点坐标为(3,1).
6+4
又kAB==1,∴AB的垂直平分线的方程为y-1=-(x-3),
8+211x=,??2
即x+y-4=0.②由①②联立,解得?3
y=-??2.∴所求圆的半径r=
即圆心坐标为?
?11,-3?.
?2??2
?11-8?2+?-3-6?2=
?2??2?????
125
, 2
?11?2?3?2125
∴所求圆的方程为?x-?+?y+?=. 2??2?2?
【举一反三】
1.已知圆??的圆心坐标为(2,-3),且点(-1,-1)在圆上,则圆??的方程为( ) A. ??2+??2?4??+6??+8=0 B. ??2+??2?4??+6???8=0 C. ??2+??2?4???6??=0 D. ??2+??2?4??+6??=0
【答案】D
【解析】因为圆??的圆心坐标为(2,-3),所以设圆??的方程为(???2)2+(??+3)2=??2,
因为圆过点(-1,-1),所以(?1?2)2+(?1+3)2=??2∴??2=13,即(???2)2+(??+3)2=13,展开得??2+??2?4??+6??=0,选D.
2.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点在圆C上,且圆心到直线的距离为,则圆C的方程为__________. 【答案】
【解析】设,则,故圆C的方程为
3.已知圆心为的圆经过点和,且圆心在上,求圆心为的圆的标准方程. 【答案】
【解析】(1)法一(待定系数法)、设圆的标准方程为:,则由题意得: .
②-①得:…………………………………………④⑤⑥ ③-④得:,代入④得:. 将代入①得:.
所以所求圆的标准方程为:.[来源:学+科+网] 法二、由点斜式可得线段的垂直平分线的方程为:.
因为圆心在上,所以线段的垂直平分线与直线的交点就是圆心. 解方程组得,所以圆心为. 圆的半径,
所以所求圆的标准方程为:.
4.的三个顶点的坐标是求它的外接圆的方程. 【答案】
考向二 点与圆的位置关系
【例2】.已知点P(3,2)和圆的方程(x-2)+(y-3)=4,则它们的位置关系为 。 【答案】圆内。
【解析】将??(3,2) 代入圆方程得(3-2)2+(2-3)2=2<4 ,因此点在圆内。
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