2007年江苏省高中数学联赛初赛 试题参考答案及评分标准
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．已知函数y?sinx，则（ B ）.
（A） 有最小正周期为2? （B） 有最小正周期为? （C） 有最小正周期为解：y?sinx?22? （D） 无最小正周期 21(1?cos2x)，则最小正周期T??. 故选（B）． 2222．关于x的不等式x?ax?20a?0任意两个解的差不超过9，则a的最大值与最小值 的和是（ C ）. （A） 2 （B） 1 （C） 0 （D） ?1
22解：方程x?ax?20a?0的两根是x1??4a，x2?5a，则由关于x的不等式
x2?ax?20a2?0任意两个解的差不超过9，得|x1?x2|?|9a|?9，即
?1?a?1. 故选（C）．
uuuruuuruuur3. 已知向量a、b，设AB?a?2b，BC??5a?6b，CD?7a?2b，则一定共线
的三点是（ A ）.
（A）A、B、D （B）A、B、C （C）B、C、D （D）A、C、D
uuuruuuruuuruuur解：BD?BC?CD?2a?4b?2AB，所以A、B、D三点共线. 故选（A）．
4．设?、?、?为平面，m、n为直线，则m??的一个充分条件是（ D ）. （A）???，?I??n，m?n （B）?I??m，???，??? （C）???，???，m?? （D）n??，n??，m??
解：（A）选项缺少条件m??；（B）选项当?//?，???时，m//?；（C）选项当
?、?、?两两垂直（看着你现在所在房间的天花板上的墙角），m??I?时，m??；
（D）选项同时垂直于同一条直线的两个平面平行．本选项为真命题. 故选（D）． 5. 若m、n?xx?a2?102?a1?10?a0，其中ai??1，，2，并且 ，2，3，4，5，6，7?，i?01??m?n?636，则实数对(m,n)表示平面上不同点的个数为（ C ）
（A）60个 （B）70个 （C）90个 （D）120个 解：由6?5?1?4?2?3?3及题设知，个位数字的选择有5种. 因为3?2?1?
?7?6?10，故
（1） 由3?2?1知，首位数字的可能选择有2?5?10种；
（2） 由3?7?6?10及5?4?1?2?3知，首位数字的可能选择有2?4?8种. 于是，符合题设的不同点的个数为5?(10?8)?90种. 故选（C）．
6．已知f(x)?x?1?x?2?L?x?2007?x?1?x?2?L?x?2007（x?R）， 且f(a?3a?2)?f(a?1), 则a的值有（ D ）. （A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）无数个 解：由题设知f(x)为偶函数，则考虑在?1?x?1时，恒有 f(x)?2?(1?2?3?L?2007)?2008?2007．
2所以当?1?a?3a?2?1，且?1?a?1?1时，恒有f(a?3a?2)?f(a?1)．
22由于不等式?1?a?3a?2?1的解集为
23?53?5?a?，不等式 22?1?a?1?1的解集为0?a?2．因此当
f(a2?3a?2)?f(a?1). 故选（D）．
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
3?5?a?2时，恒有 27．设Sn为等差数列?an?的前n项和，若S5?10，S10??5，则公差为 d??1 . 解：设等差数列?an?的首项为a1，公差为d. 由题设得??5a1?10d?10， 即
?10a1?45d??5，?a1?2d?2， 解之得d??1. ??2a1?9d??1，8. 设f(x)?loga(x?b)(a?0且a?1)的图象经过点(2，1)，它的反函数的图象经过点
(2，8)，则a?b等于 4 .
解：由题设知 ??loga(2?b)?1， 化简得
?loga(8?b)?2，?a2??2，（舍去）. ?b??4.?2?(2?b)?a， ?2?(8?b)?a.?a1?3，解之得 ?
b?1；?1故a?b等于4.
2x2?x?1)?f(lg(x2?6x?20))?0的 9．已知函数y?f(x)的图象如图，则满足f(2x?2x?1x的取值范围为 x?[?2，1) ．
O 1 x y （第9题） 解： 因为 lgx?6x?20?lg(x?3)?11?lg11?1，所以
?2??2?lg?x2?6x?20??0. 于是，由图象可知，
2x?1x?2?1，即 ?0，解得 x?1x?11)． ?2?x?1. 故x的取值范围为 x?[?2，10．圆锥曲线x2?y2?6x?2y?10?|x?y?3|?0的离心率是 2 ．
解：原式变形为(x?3)2?(y?1)2?|x?y?3|，即 (x?3)2?(y?1)2?
2|x?y?3|2．所以动点(x,y)到定点(?31)，的距离与它到直线x?y?3?0的距离
之比为2．故此动点轨迹为双曲线，离心率为2．
11．在?ABC中，已知tanB?3，sinC?22，AC?36，则?ABC的面积为 3S?ABC?83?62．
解：在?ABC中，由tanB?3 得B?60?．由正弦定理得AB?AC?sinC?8．
sinB因为arcsin221?60?，所以角C可取锐角或钝角，从而cosC??． 3323?．故 36sinA?sin(B?C)?sinBcosC?cosBsinC?S?ABC?AC?ABsinA?83?62． 22212. 设命题P:a?a，命题Q: 对任何x?R，都有x?4ax?1?0. 命题P与Q中有
且仅有一个成立，则实数a的取值范围是 ?11?a?0 或 ?a?1 . 22解：由a?a得0?a?1．由x?4ax?1?0对于任何x?R成立，得
2211?a?．因为命题P、Q有且仅有一个成立，故实数 2211a的取值范围是 ??a?0 或 ?a?1．
22??16a2?4?0，即?
三、解答题（本题满分60分，每小题15分） 13. 设不等式组 ??x?y?0， 表示的平面区域为D. 区域D内的动点P到直线x?y?0
?x?y?00)的直线 和直线x?y?0的距离之积为2. 记点P的轨迹为曲线C. 过点F(22，l与曲线C交于A、B两点. 若以线段AB为直径的圆与y轴相切，求直线l的斜率.
解：由题意可知，平面区域D如图阴影所示． 设动点为P(x,y)，则x?y2?x?y2?2，即
y x2?y2?4．由P?D知
x?y?0，x－y<0，即x2－y2<0．
所以y2－x2＝4(y＞0)，即曲线C的方程为
y2x2
－＝1(y＞0)．…………5分 44
O x x1?x2y1?y2，). 22x?x21因为以线段AB为直径的圆L与y轴相切，所以半径 r?AB?1，即
22设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则以线段AB为直径的圆的圆心为Q(AB?x1?x2． ① …………10分
因为直线AB过点F(22，0)，
当AB ? x轴时，不合题意．
所以设直线AB的方程为y＝k(x－22)． y2x2
代入双曲线方程－＝1(y＞0)得，
44
k2(x－22)2－x2＝4，即(k2－1)x2－42k2x＋(8k2－4)＝0． 因为直线与双曲线交于A，B两点， 所以k≠±1．
8k2－442k2
所以x1＋x2＝2，x1x2＝2．
k－1k－1
所以|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2] ＝
(1＋k2)[
?42k2?2－4?8k2－4]＝|x＋x|＝|42k2|， ?k2－1?12
k2－1k2－1??
化简得：k4＋2k2－1＝0，
解得k2＝2－1（k2＝－2－1不合题意，舍去）．
由△＝(42k2)2－4(k2－1) (8k2－4) ＝3k2－1＞0， 又由于y＞0， 所以－1 2－1 …………………15分 解：由题意可知，平面区域D如图阴影所示． |x＋y||x－y| 设动点P(x，y)，则?＝2， 22即|x2－y2|＝4． 由P∈D知： x＋y＞0，x－y<0，即x2－y2<0． y O x
全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
