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第一部分 专题五 第3讲
题型 1.圆锥曲线中的定点与定值问题 2.圆锥曲线中的最值与范围问题 3.圆锥曲线中的存在性问题 基础热身(建议用时：40分钟)
x22→→
1．F1，F2是椭圆＋y＝1的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则PF1·PF2的最大值是( )
4A．－2 C．2
B．1 D．4
对应题号 5,9,10 1,2,3,4,6,7,8,11 12 →→
B 解析 设P(x，y)，依题意得点F1(－3，0)，F2(3，0)，PF1·PF2＝(－3－x)(3－33→→x)＋y2＝x2＋y2－3＝x2－2，因为－2≤x≤2，所以－2≤x2－2≤1，因此PF1·PF2的最大值是
441.故选B项．
2．若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为( ) A．2 1
C．
4
1B． 21D． 8
D 解析 根据题意，设P到准线的距离为d，则有|PF|＝d，又抛物线的方程为y＝2x2，111
即x2＝y，所以其准线方程为y＝－，所以当点P在抛物线的顶点时，d有最小值，即|PF|min
2881
＝.故选D项． 8
3．(2019·北京西城区调研)过抛物线
y2＝4x2
3x的焦点且斜率为k的直线l与双曲线C：2
－y2＝1的两个交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，若x1·x2>0，则k的取值范围是( )
11
－，? A．??22?
11
－∞，－?∪?，＋∞? B．?2??2??C．?－?
22?
，22?
2??2?∪，＋∞
2??2?
D．?－∞，－
?
222
D 解析 易知双曲线两渐近线为y＝±x，所以当k>或k<－时，l与双曲线的右
222
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支有两个交点，满足x1x2>0.故选D项．
x2y2
4．(2017·全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满
3m足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，3]∪[9，＋∞) C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，3]∪[4，＋∞)
A 解析 若焦点在x轴上，依题意得0 ∠AMB3≥tan＝3，所以0 2m ∠AMBm ≥tan＝3，所以m≥9. 23 m≤1，则0 5．在直线y＝－2上任取一点Q，过Q作抛物线x2＝4y的切线，切点分别为A，B，则直线AB恒过的点的坐标为( ) A．(0,1) C．(2,0) B．(0,2) D．(1,0) 11 B 解析 设Q(t，－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程变为y＝x2，则y′＝x，则 4211 在点A处的切线方程为y－y1＝x1(x－x1)，化简得y＝x1x－y1，同理，在点B处的切线方程 22111 为y＝x2x－y2，又点Q(t，－2)的坐标适合这两个方程，代入得－2＝x1t－y1，－2＝x2t－y2， 22211 这说明A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足方程－2＝xt－y，即直线AB的方程为y－2＝tx，因此直 22线AB恒过点(0,2)．故选B项． x2y2 6．已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆x2－4x＋y2＋2＝0相交，则双曲线的离 ab心率的取值范围是________． b 解析 双曲线的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，圆x2－4x＋y2＋2＝0，可化为(x－2)2 a＋y2＝2，其圆心为(2,0)，半径为 2.因为直线bx±ay＝0和圆(x－2)2＋y2＝2相交，所以|2b| a2＋b2 <2，整理得b2 答案 (1，2) 7．已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，动点Q在C上，圆Q的半径为1，过点F的直 Ruize知识分享 →→ 线与圆Q切于点P，则FP·FQ的最小值为________． → →→→→→→|PF|→2→ 解析 如图所示，在Rt△QPF中，FP·FQ＝|FP||FQ|·cos∠PFQ＝|FP||FQ|＝|FP|＝|FQ →|FQ|→ |2－1.由抛物线的定义知|FQ|＝d(d为点Q到准线的距离)，易知，抛物线的顶点到准线的距离→→→ 最短，所以|FQ|min＝2，所以FP·FQ的最小值为3. 答案 3 8．已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________． y22 解析 不妨设A(x1，y1)(y1>0)，B(x2，y2)(y2<0)．则|AC|＋|BD|＝y1＋x2＝y1＋.又y1y2＝－ 4p2＝－4. 2y24x24x4x3＋8 所以|AC|＋|BD|＝－(y2<0)．设g(x)＝－(x<0)，g′(x)＝＋2＝2，所以g(x)在(－ 4y24x2x2x ∞，－2)上单调递减，在(－2,0)上单调递增．所以当x＝－2时，g(x)min＝g(－2)＝3，即y2＝－2时，|AC|＋|BD|的最小值为3. 答案 3 x2y22 9．如图，椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)，经过点A(0，－1)，且离心率为. ab2 (1)求椭圆E的方程； (2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值． c2x2 222 解析 (1)由题设知＝，b＝1，结合a＝b＋c，解得a＝2，所以椭圆的方程为＋a22y2＝1. Ruize知识分享 x22 (2)证明：由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y＝1，得(1＋2k2)x2 2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0，由已知Δ>0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0， 4k?k－1?2k?k－2? 则x1＋x2＝，xx＝， 12 1＋2k21＋2k2从而直线AP，AQ的斜率之和kAP＋kAQ＝ y1＋1y2＋1kx1＋2－kkx2＋2－k ＋＝＋＝2k＋(2x1x2x1x2 11?x1＋x24k?k－1? ＋＝2k＋(2－k)－k)?＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.故kAP＋kAQ为定值2. ?x1x2?x1x22k?k－2? 10．(2019·福建适应性练习)设O为坐标原点，动圆P过定点M(4,0)，且被y轴截得的弦长是8. (1)求圆心P的轨迹C的方程； π(2)设A，B是轨迹C上的动点，直线OA，OB的倾斜角之和为，求证：直线AB过定点． 4解析 (1)设动圆的圆心P的坐标为(x，y)，半径为r，则r2＝PM2＝(x－4)2＋(y－0)2，因为动圆被y轴截得的弦长是8，所以r2＝x2＋42，消去r得y2＝8x，故圆心P的轨迹C的方程为y2＝8x. ??x＝my＋n， (2)证明：设直线AB的方程为x＝my＋n，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程?2 ?y＝8x，? 消去x得y2－8my－8n＝0， 则y1＋y2＝8m，y1y2＝－8n. 设直线OA，OB的倾斜角分别是α，β. tan α＋tan βπ 因为α＋β＝，所以tan(α＋β)＝1，即＝1， 41－tan αtan β 88 ＋y1y28?y1＋y2?y1 y1 88 因为kOA＝＝2＝＝tan α，同理kOB＝＝tan β，所以＝1，所以＝ x1y1y1y288y1y2－64 1－· 8y1y2 1， 所以8(y1＋y2)＝y1y2－64，所以8×8m＝－8n－64，所以n＝－8－8m. 所以直线AB的方程为x＝m(y－8)－8，故直线AB过定点(－8,8)． 能力提升(建议用时：25分钟) 11．(2019·河北武邑中学质检)已知平面直角坐标系内的动点P到直线l1：x＝2的距离与到点F(1,0)的距离之比为 2. (1)求动点P所在曲线E的方程； (2)设点Q为曲线E与y轴正半轴的交点，过坐标原点O作直线l，与曲线E相交于异于 →→ 点Q的不同两点M，N，点C满足OC＝2OQ，直线MQ和NQ分别与以C为圆心，|CQ|为 Ruize知识分享 半径的圆相交于点A和点B，求△QAC与△QBC的面积之比 λ的取值范围． x22 解析 (1)设动点P(x，y)，由题意可得＝2，整理得x＋2y＝2，即＋y 2?x－1?2＋y2 2 2 |x－2| ＝1为所求曲线E的方程． (2)由已知得Q(0,1)，C(0,2)，|CQ|＝1，即圆C的方程为x2＋(y－2)2＝1. 由题意可得直线MQ，NQ的斜率存在且不为0， 2)x2－2kx＝0，所以x设直线MQ的方程为y＝k1x＋1，与x2＋(y－2)2＝1联立得(1＋k11A ＝ 2k1 . 1＋k21 2设直线NQ的方程为y＝k2x＋1，与x2＋(y－2)2＝1联立得(1＋k22)x－2k2x＝0，所以xB＝ 2k2 ， 1＋k22 1 |QC||xA|2?S△QAC2xA??k1?1＋k2?. ?因此λ＝＝＝?x?＝??2 k2?1＋k1??BS△QBC1? |QC||xB|2 由于直线l过坐标原点，所以点M与点N关于坐标原点对称．设M(x0，y0)，N(－x0，－y0)， 2－11－y01＋y0y0 所以k1k2＝·＝2. x0－x0x0 x210 又M(x0，y0)在曲线E上，所以＋y20＝1，即k1k2＝－， 223?k1?1＋k24k22??1?1＋1?4－故λ＝?＝＝， ?2 2?k1＋1?2k2?k2?1＋k21??1＋21?1?由于k21>0，所以<λ<2.故λ的取值范围为，2. ?2?2 x2y2 12．(2019·四川泸州诊断)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)，点P1(1,1)，P2(0，3)，P3(－ ab2，－2)，P4(2，2)中恰有三点在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)设R(x0，y0)是椭圆C上的动点，由原点O向圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝2引两条切线，分别交椭圆于点P，Q，若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，试问△OPQ的面积是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．
高考数学(文科)专题复习课标通用版(跟踪检测) 专题5 解析几何专题5 第3讲
