傅里叶级数在级数求和中的应用

傅里叶级数在级数求和中的应用

韦兰英

【摘 要】摘要：通过实例介绍如何应用傅里叶级数求收敛级数的和，其关键在于结合所给级数通项的形式，寻找一个合适的函数并将其展开为傅里叶级数． 【期刊名称】高师理科学刊 【年(卷),期】2018(038)006 【总页数】3

【关键词】傅里叶级数；求和；函数；帕塞瓦尔等式

无穷级数在分析和研究数学问题方面有着广泛的应用，而收敛级数求和是无穷级数的主要内容，级数求和的方法很多．根据一般项的特征可采用不同方法，常用的有定义法、构造幂级数法、逐项微分与逐项积分法等[1-2]，但对于某些复杂的级数，求和问题仍然是较难解决的．本文给出应用傅里叶级数求级数和的方法．

1 傅里叶级数有关理论

1.1 偶函数与奇函数的傅里叶级数

设函数是定义在上的连续偶函数，且在内有连续二阶导数，则的傅里叶级数为 其中：； ．还可以表示为 （2）

设函数是定义在上的连续奇函数，且在上连续二阶可导，则的傅里叶级数为 其中： ．还可以表示为 （4）

1.2 帕塞瓦尔等式

设函数及是上的黎曼可积函数，是的傅里叶系数，则帕塞瓦尔（Parseval）等式[3-4]

成立，该等式可利用三角函数的正交性证明[5]．

2 应用举例

应用傅里叶级数有关理论求收敛级数的和，其关键在于寻找一个合适的函数并将其展开为傅里叶级数，然后将所求级数的通项与傅里叶级数的展开式相结合[6]，取傅里叶级数在某个特殊点的值或应用帕塞瓦尔等式，便可求出级数的和． 例1[7] 求级数，，，的和．

分析 例1的关键是引入一个辅助函数，使它的傅里叶系数或有形如的因子，从而借助的傅里叶级数，就有可能得到．考察式（2），选择一个定义在上的连续偶函数，使其在上有连续的二阶导数，根据的傅里叶级数式（1），只要有因子，即可求出题中的级数和．为此令满足（为常数），可取，这时有，，即 式（6）中，分别取，得，． 利用可知，，又 ，由此得．

若令，可用同样方法求出级数的和，这时，，即． 取，得 ，由此可推出， ，的和． 例2[8] 求函数项级数的和函数．

分析 选一个函数使它的傅里叶系数或有形如的因子．考察式（4），寻找一个定义在上的连续奇函数，使其在上有连续的二阶导数，根据的傅里叶级数式（3），确定式（4）中的系数．为此，令满足，，由此解得，其中：为任意常数，此时有，，得． 当取，得 ，即．

例3[9] 求级数的和．

分析 如果由计算出的傅里叶系数或含有，可使中出现，此时可利用帕塞瓦尔等式左端积分求出的和．由式（6）及帕塞瓦尔等式（5）可知，，于是得 ． 用同样的方法可以求出，等偶次级数的和．

级数的求和问题是级数求和中的难点问题，当为偶数时，根据具体问题选择一个适当的函数，然后将这个函数展开成傅里叶级数，再进行适当的运算，就可以解决和的问题．当为奇数时，的和可以借助MATLAB应用软件，用数学实验的方法得出其和的近似值．

3 结束语

由例1~3可以看出，应用傅里叶级数的有关理论求收敛级数的和是一种非常有效的方法[10]，这种方法的关键是构造辅助函数，使的傅里叶系数中出现通项的主要部分，然后通过适当的运算就可以得到的和． 参考文献：

[1] 同济大学数学教研室．高等数学（下册）[M]．7版．北京：高等教育出版社，2014

[2] 华东师范大学数学系．数学分析（下册）[M]．3版．北京：高等教育出版社，2010

[3] 吴良森，毛羽辉，韩士安，等．数学分析学习指导书（下册）[M]．北京：高等教育出版社，2012

[4] 王秋平，杨庆益．利用Parseval等式求偶次p-级数的和[J]．数学学习与研究，2017（7）：38-40

[5] 朱剑峰，李鸿萍．数项级数求和的一些方法和技巧[J]．中国科教创新导刊，