解：
dyasintsintt．．．．．．．．．．．．．．．3分 ???cot．
dxa(1?cost)1?cost2t(cot)'dy2?．．．．．．．．．．．．．．．．5分 2dx[a(t?sint)]'21t?csc22 ?2a(1?cost)
??1tcsc4．．．．．．．．．．．．．．．．7分 4a24．计算不定积分?(lnx)2dx。
222解：?(lnx)dx?x(lnx)??xd(lnx)．．．．．．．．．．．．．．．．2分
?x(lnx)2?2?lnxdx．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ?x(lnx)2?2xlnx?2?xdlnx．．．．．．．．．．．．．．．．6分
．．．．．．．．．．．．．．．7分 ?x(lnx)2?2xlnx?2x?C．
?5. 设方程ey?sin(x?y)确定隐函数y?y(x)并满足y()?0，求y'2解：方程两边对x求导，得
．．．．．．．．．．．．．．．3分 ey?y'?cos(x?y)?(1?y')．
?y'?cos(x?y)．．．．．．．．．．．．．．．．5分
ey?cos(x?y)x??2。
又x?
?2代入得
，得y?0，．．．．．．．．．．．．．．．．6分
y'
x??2．．．．．．．．．．．．．．．7分 =0．
0,2)6．设曲线y?ax3?bx2?cx?2在x?1处有极小值0，且(为拐点，求a,b,c的
值。
解：y'?3ax2?2bx?c,．．．．．．．．．．．．．．．．1分
6
1.5CM
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y''?6ax?2b,．．．．．．．．．．．．．．．．2分
由题意得
??a?b?c?2?0??a?0?b?0?c?0?2?2．．．．．．．．．．．．．．?3a?2b?c?0．．6分 ??6a?0?2b?0解得a?1,b?0,c??3．．．．．．．．．．．．．．．．7分 7．计算定积分?1x?15?4xdx。 解：令t?5?4x，则dx??12tdt．．．．．．．．．．．．．．．．1分
5?t2?1x?15?4xdx??143t(?12t)dt．．．．．．．．．．．．．．．．3分
??18?13(5?t2)dt．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ??18(5t?13t3)13．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ?16．．．．．．．．．．．．．．．．7分 四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
1．证明不等式：当x?1时，ex?e2(x2?1)。
证明：设f(x)?ex?e2(x2?1)(x?1)．．．．．．．．．．．．．．．．1分
f'(x)?ex?ex．
．．．．．．．．．．．．．．．2分 所以f''(x)?ex?e?0．．．．．．．．．．．．．．．．3分 所以f'(x)?ex?ex单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．4分 当x?1时，f'(x)?f'(1)?0．．．．．．．．．．．．．．．．5分
所以当x?1时，f(x)?ex?e2(x2?1)(x?1)单调递增．．．．．．．．．．．．．．6分
所以当x?1时，f(x)?f(1)，即ex?e2(x2?1)．．．．．．．．．．．．．．7分
2．一抛物线的轴平行于x轴，开口向左且通过原点与点(2,1),求当它与y轴所
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围的面积最小时的方程。
解：设x?ay2?by?c．．．．．．．．．．．．．．．．1分 它通过原点，因此c?0．．．．．．．．．．．．．．．．2分 又通过(2,1)，所以b?2?a．．．．．．．．．．．．．．．．3分 所以满抛物线为x?ay2?(2?a)y(a?0)
2这抛物线与y轴的另一交点是(0,1?)．．．．．．．．．．．．．．．．4分
a它与y轴所围面积为
S(a)??1?2a0[ay2?(2?a)y]dy?42a．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ??1?3a2a6令S'(a)??821???0 323aa6得a??4,a?2（舍）．．．．．．．．．．．．．．．．6分 所以x??4y2?6y．．．．．．．．．．．．．．．．7分
3．已知函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)?0，f(1)?1。证明：（1）存在??(0,1)，使得f(?)?1??；（2）存在两个不同的点?，??(0,1)，使得
f?(?)f?(?)?1。
解：（1）令g(x)?f(x)?x?1，．．．．．．．．．．．．．．．．2分 则g(x)在[0,1]上连续，且g(0)??1?0，g(1)?1?0，
)f?(??)??故由零点定理知存在??(0,1)，使得g(??f(??)?1?。．．．．．．．．．．．．．．．．3分
1，即
（2）由题设及拉格朗日中值定理知，存在??(0,?)，??(?,1)，使得
f?(?)?f?(?)?f(?)?f(0)1???，．．．．．．．．．．．．．．．．5分
??0?f(1)?f(?)1?(1??)???，
1??1??1??1????1．证毕．从而f?(?)f?(?)?．．．．．．．．．．．．．．．．7分
?1?? 8
2017年高等数学上试题和答案解析
