数 列
1．1 数列的概念
预习课本P3～6，思考并完成以下问题 (1)什么是数列？数列的项指什么？
(2)数列的一般表示形式是什么？
(3)按项数的多少，数列可分为哪两类？
(4)数列的通项公式是什么？数列的通项公式与函数解析式有什么关系？
[新知初探]
1．数列的概念
(1)定义：按一定次序排列的一列数叫作数列． (2)项：数列中的每一个数叫作这个数列的项．
(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，?，an?，简记为数列{an}．数列的第1项a1，也称首项；an是数列的第n项，也叫数列的通项．
[点睛]
(1)数列的定义中要把握两个关键词：“一定次序”与“一列数”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定次序”排列的，即确定的数在确定的位置．
(2)项an与序号n是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位次．
(3){an}与an是不同概念：{an}表示数列a1，a2，a3，?，an，?；而an表示数列{an}中的第n项．
2．数列的分类
项数有限的数列叫作有穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列．
1
3．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f(n)，那么这个式子叫作数列{an}的通项公式． [点睛]
(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N＋或它的有限子集{1,2,3，?，n}为定义域的函数解析式．
(2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式． 4．数列的表示方法
数列的表示方法一般有三种：列表法、图像法、解析法．
[小试身手]
1．判断下列结论是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)同一数列的任意两项均不可能相同．( ) (2)数列－1,0,1与数列1,0，－1是同一个数列．( ) (3)数列中的每一项都与它的序号有关．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√
1－?－1?n＋1
2．已知数列{an}的通项公式为an＝，则该数列的前4项依次为( )
2A．1,0,1,0 11
C.，0，，0 22
B．0,1,0,1 D．2,0,2,0
＋
1－?－1?n1解析：选B 把n＝1,2,3,4分别代入an＝中，依次得到0,1,0,1.
23．已知数列{an}中，an＝2n＋1，那么a2n＝( ) A．2n＋1 C．4n＋1
B．4n－1 D．4n
解析：选C ∵an＝2n＋1，∴a2n＝2(2n)＋1＝4n＋1. 4．数列1,3,6,10，x,21，?中，x的值是( ) A．12 C．15
B．13 D．16
解析：选C ∵3－1＝2,6－3＝3,10－6＝4，
??x－10＝5，∴?∴x＝15. ?21－x＝6，?
数列的概念与分类 [典例] 下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？ (1){0,1,2,3,4}；(2)0,1,2,3；(3)0,1,2,3,4，?； (4)1，－1,1，－1,1，－1，?；(5)6,6,6,6,6. [解] (1)是集合，不是数列；
2
(2)(3)(4)(5)是数列．
其中(3)(4)是无穷数列，(2)(5)是有穷数列．
数列分类的判断方法 判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列． [活学活用] 下列说法中，正确的是( ) A．数列0,2,4,6可表示为{0,2,4,6}
B．数列1,3,5,7,9，?的通项公式可记为an＝2n＋1
C．数列2 013,2 014,2 015,2 016与数列2 016,2 015，2 014，2 013是相同的数列 D．数列{an}的通项公式an＝
n＋2 0171
，则它的第k项是1＋ n＋2 016k＋2 016
解析：选D 数列与数的集合的概念不同，A不正确；当n∈N＋时，没有第一项1，所以B不正确；C中两个数列中数的排列次序不同，故是不同的数列，所以选D.
根据数列的前几项写出数列的通项公式 [典例] 分别写出下列数列的一个通项公式，数列的前4项已给出． 22－132－142－152－1
(1)，，，，?；
23451111
(2)－，，－，，?；
261220(3)0.9,0.99,0.999,0.999 9，?.
[解] (1)该数列第1,2,3,4项的分母分别为2,3,4,5恰比项数多1.
?n＋1?2－1分子中的2345恰是分母的平方，－1不变，故它的一个通项公式为an＝.
n＋1
2,2,2,2
(2)该数列各项符号是正负交替变化的，需设计一个符号因子(－1)n，分子均为1不变，分母2,6,12,20可分解为1×2,2×3,3×4,4×5，
1则它的一个通项公式为an＝(－1)n.
n?n＋1?(3)0.9＝1－0.1,0.99＝1－0.01, 0.999＝1－0.001, 0．999 9＝1－0.000 1， 而0.1＝10
－1,
0.01＝10
－2,
0.001＝10
－3,
0.000 1＝104，
－
∴它的一个通项公式为an＝1－10n.
－
由数列的前几项求通项公式的解题策略 (1)负号用(－1)n与(－1)n1(或(－1)n1)来调节，这是因为n和n＋1奇偶交错． ＋－(2)分式形式的数列，分子找通项，分母找通项要充分借助分子、分母的关系．
3
(3)此类问题虽无固定模式，但也有其规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化等方法． [活学活用] 写出下列数列的一个通项公式： (1)0,3,8,15,24，?； 1925(2)，2，，8，，?； 2221234
(3)1，2，3，4，?.
2345
解：(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，?，所以它的一个通项公式是an＝n2－1.
1491625(2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，，，?，
22222n2
所以它的一个通项公式为an＝.
2
n
(3)此数列的整数部分1,2,3,4，?恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为，故所求的数
n＋1n2＋2nn
列的一个通项公式为an＝n＋＝. n＋1n＋1
利用通项公式确定数列的项 [典例] 已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. (1)写出数列的第4项和第6项；
(2)－49和68是该数列的项吗？若是，应是第几项？若不是，请说明理由． [解] (1)∵an＝3n2－28n， ∴a4＝3×42－28×4＝－64， a6＝3×62－28×6＝－60.
(2)令3n2－28n＝－49，即3n2－28n＋49＝0， 7
解得n＝7，或n＝(舍)．
3∴－49是该数列的第7项， 即a7＝－49.
令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0， 解得n＝－2，或n＝∵－2?N＋， (1)数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，
4
34. 3
34
?N，∴68不是该数列的项． 3＋
就可以求出数列的相应项． (2)判断某数值是否为该数列的项，需假定它是数列中的项列方程．若方程的解为正整数，则是数列的项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的项． [活学活用] 已知数列{an}的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的2倍． (1)求这个数列的第4项与第25项；
(2)253和153是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ 解：(1)由题设条件，知an＝n＋2n. ∴a4＝4＋2×4＝10，a25＝25＋2×25＝55.
(2)假设253是这个数列中的项，则253＝n＋2n，解得n＝121.∴253是这个数列的第121项． 1
假设153是这个数列中的项，则153＝n＋2n，解得n＝72，这与n是正整数矛盾，∴153不
4是这个数列中的项．
层级一 学业水平达标
?3n＋1，n为奇数，
1．数列的通项公式为an＝?则a2·a3等于( )
?2n－2，n为偶数，
A．70 C．20
B．28 D．8
??3n＋1，n为奇数，
解析：选C 由an＝?得a2＝2，a3＝10，所以a2·a3＝20.
?2n－2，n为偶数，?
2．下列叙述正确的是( ) A．同一个数在数列中可能重复出现
B．数列的通项公式是定义域为正整数集N＋的函数 C．任何数列的通项公式都存在 D．数列的通项公式是唯一的
解析：选A 数列的通项公式的定义域是正整数集N＋或它的有限子集，选项B错误；并不是所有数列都有通项公式，选项C错误；数列－1,1，－1,1，?的通项公式可以写成an＝(－1)n，也可以写成an＝(－1)n2，选项D错误．故选A.
＋
3．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，则－8是该数列的( ) A．第5项 C．第7项
B．第6项 D．非任何一项
解析：选C 由n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)． 4．数列1，－3,5，－7,9，?的一个通项公式为( ) A．an＝2n－1 B．an＝(－1)n(1－2n) C．an＝(－1)n(2n－1) D．an＝(－1)n(2n＋1)
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北师大版高中数学必修五教学案
