八年级数（下）学月考试卷
一、选择题，每小题3分，共18分
1．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ） A．80° B．80°或20°
C．80°或50°
D．20°
2．用反证法证明“a≥b”时应假设（ ） A．a＜b
B．a＞b
C．a=b D．a≤b
3．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（ ）
A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC
4．一元一次不等式2（x+1）≥4的解在数轴上表示为（ ） A．
B．
C．
D．
5．Rt△ABC中，∠B=90°∠A=30°．以C为圆心，小于BC长为半径画弧与AC、BC边交于点F、E．分F为圆心，别以E、大于EF为半径画弧，两弧交于点N，若BC=
，则点M到AC的距离是（ ）
A．1 B． C． D．3
6．如图：在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，且FB=CE，则下列结论：①DE=DF，②AE=AF，③BD=CD，④AD⊥BC．其中正确的个数有（ ）
第1页
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题，每小题3分，共24分
7．“内错角相等，两直线平行”的逆命题是 ．
8．若a＜b，那么﹣2a+9 ﹣2b+9（填“＞”“＜”或“=”）．
9．若（a﹣1）2+|b﹣2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 ． 10．不等式2x+10≥3（x+2）的正整数解是 ．
11．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是 cm．
12．如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点I，且DE∥BC．BD=8cm，CE=5cm，则DE等于 ．
13．铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160cm，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30cm，长与宽的比为3：2，则该行李箱的长的最大值为 cm． 14．如图，在一张长为18cm、宽为16cm的长方形纸片上，现要剪一个腰长为10cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上），则剪下的等腰三角形的面积是 ．
第2页
三、解答题
15．用适当的符号表示下列关系： （1）y的一半与5的差是非负数：
（2）x的3倍与1的和小于x的2倍与5的差． 16．解下列不等式
≤
﹣1，并将解集在数轴上表示出来．
17．如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O，求证：△ABC≌△DCB．
18．如图，已知方格纸中的每个小方格都是相同的正方形（边长为1），我们把小正方形的顶点称为格点，请你只用直尺和铅笔，完成下列作图； （1）如图（1）作一点M，使MA=MB，MC=MD．
（2）如图（2）方格纸上有一个角∠AOB，小方格的顶点（格点）上标出一个点P，使P落在∠AOB的平分线上．
19．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E两点． （1）求证：△ACD是等腰三角形；
（2）若AE=5，△CBD的周长为24，求△ABC的周长．
第3页
20．为建设“生态园林城市”吉安市绿化提质改造工程正如火如茶地进行，某施工队计划购买甲、乙
两种树苗共400棵对某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．
（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？ （2）若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？ 21．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证： （1）△AEF≌△CEB； （2）AF=2CD．
22．某公交公司有A、B两种客车，它们的载客数量和租金如表；
A 45 400
B 30 280
载客量（人/辆） 租金（元/辆）
红星中学根据实际情况，计划租用A，B型客车共5辆，同时送八年级师生到基地校参加社会实践活动，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题； （1）用含x的式子填写表格
车辆数（辆）
x 5﹣x
载客量 45x
租金（元）
400x
A B
（2）若要保证租车费用不超过1900元，求x的最大值；
（3）在（2）的条件下，若七年级师生共有195人，写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案．
第4页
23．我们引入如下概念，
定义；到三角形的两条边的距离相等的点，叫做此三角形的准内心，举例：如图1，PE⊥BC，若PE=PD则P为△ABC的准内心
（1）填空；根据准内心的概念，图1中的点P在∠BAC的 上．
（2）应用；如图2，△ABC中，AC=BC=13，AB=10，准内心P在AB上，求P到AC边的距离PD的长．
（3）探究；已知△ABC为直角三角形，AC=BC=6，∠C=90°，准内心P在△ABC的边上，试探究PC的长．
24．如图（a），已知点B（0，6），点C为x轴上一动点，连接BC，△ODC和△EBC都是等边三角形．
（1）求证：BO=DE．
（2）如图（b），当点D恰好落在BC上时， ①求OC的长及点E的坐标；
②在x轴上是否存在点P，使得△PEC为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；如不存在，说明理由．
③如图（c），点M是线段BC上的动点（点B，C除外），过点M作MG⊥BE于点G，MH⊥CE于点H，当点M运动时，MH+MG的值是否发生变化？如不会变化，直接写出MH+MG的值；如会变化，简要说明理由．
第5页
八年级数学（下）月考试卷
参考答案与试题解析
一、选择题，每小题3分，共18分
1．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ） A．80° B．80°或20°
C．80°或50°
D．20°
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解． 【解答】解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°， ②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°， 综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°． 故选：B．
2．用反证法证明“a≥b”时应假设（ ） A．a＜b
B．a＞b
C．a=b D．a≤b
【考点】反证法．
【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．要注意的是a≥b的反面有多种情况，需一一否定． 【解答】解：用反证法证明“a≥b”时，应先假设a＜b． 故选：A．
3．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（ ）
A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC 【考点】全等三角形的判定．
第6页
【分析】求出AF=CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可． 【解答】解：∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF， ∴AF=CE，
A、∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；
B、根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项正确； C、∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项错误； D、∵AD∥BC， ∴∠A=∠C，
∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误； 故选B．
4．一元一次不等式2（x+1）≥4的解在数轴上表示为（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．
【分析】首先根据解一元一次不等式的方法，求出不等式2（x+1）≥4的解集，然后根据在数轴上表示不等式的解集的方法，把不等式2（x+1）≥4的解集在数轴上表示出来即可． 【解答】解：由2（x+1）≥4， 可得x+1≥2， 解得x≥1，
第7页
所以一元一次不等式2（x+1）≥4的解在数轴上表示为：
．
故选：A．
5．Rt△ABC中，∠B=90°∠A=30°．以C为圆心，小于BC长为半径画弧与AC、BC边交于点F、E．分F为圆心，别以E、大于EF为半径画弧，两弧交于点N，若BC=
，则点M到AC的距离是（ ）
A．1 B． C． D．3
【考点】角平分线的性质；含30度角的直角三角形；作图—基本作图．
【分析】先求出∠ACB的度数，求出∠ACM=∠BCM=30°，根据含30°角的直角三角形性质求出CM=2BM，求出BM长，根据角平分线性质求出即可． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°∠A=30°， ∴∠ACB=60°，
∵以C为圆心，小于BC长为半径画弧与AC、BC边交于点F、E．分别以E、F为圆心，大于EF为半径画弧，两弧交于点N， ∴∠ACM=∠MCB=30°， ∵∠B=90°， ∴CM=2BM， ∵BC=
，
）2=（2BM）2，
∴由勾股定理得：BM2+（解得：BM=1，
∵∠B=90°，∠ACM=∠BCM，
∴点M到AC的距离等于BM的长，即是1， 故选A．
第8页
6．如图：在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，且FB=CE，则下列结论：①DE=DF，②AE=AF，③BD=CD，④AD⊥BC．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【分析】根据角平分线性质求出DF=DE即可；根据勾股定理和DE=DF即可求出AE=AF；求出AB=AC，根据等腰三角形的三线合一定理即可判断③④正确． 【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴DE=DF，∴①正确； 由勾股定理得：AF=∵AD=AD，DF=DE， ∴AE=AF，∴②正确； ∵AF=AE，BF=CE， ∴AB=AC， ∵AD平分∠BAC， ∴BD=DC，AD⊥BC， ∴③④都正确； ∴正确的有4个． 故选D．
，AE=
，
第9页
二、填空题，每小题3分，共24分
7．“内错角相等，两直线平行”的逆命题是 两直线平行，内错角相等 ． 【考点】命题与定理．
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
【解答】解：“内错角相等，两直线平行”的条件是：内错角相等，结论是：两直线平行． 将条件和结论互换得逆命题为：两条直线平行，内错角相等． 故答案为：两直线平行，内错角相等．
8．若a＜b，那么﹣2a+9 ＞ ﹣2b+9（填“＞”“＜”或“=”）． 【考点】不等式的性质．
【分析】不等式两边加或减某个数或式子，乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以一个负数，不等号的方向改变． 【解答】解：∵a＜b， ∴﹣2a＞﹣2b， ∴﹣2a+9＞﹣2b+9
9．若（a﹣1）2+|b﹣2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 5 ．
【考点】等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形三边关系．
【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b再分情况讨论求解即可． 【解答】解：根据题意得，a﹣1=0，b﹣2=0， 解得a=1，b=2，
①若a=1是腰长，则底边为2，三角形的三边分别为1、1、2， ∵1+1=2，
∴不能组成三角形，
第10页
②若a=2是腰长，则底边为1，三角形的三边分别为2、2、1， 能组成三角形， 周长=2+2+1=5． 故答案为：5．
10．不等式2x+10≥3（x+2）的正整数解是 1，2，3，4 ． 【考点】一元一次不等式的整数解．
【分析】先根据不等式的基本性质求出不等式的解集，再求出不等式的正整数解即可． 【解答】解：2x+10≥3（x+2）， 2x+10≥3x+6， 2x﹣3x≥6﹣10， ﹣x≥﹣4， x≤4，
所以不等式的正整数解为1，2，3，4， 故答案为：1，2，3，4．
11．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是 18 cm．
【考点】等边三角形的判定与性质．
【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形进行解答即可． 【解答】解：∵OA=OB，∠AOB=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB=OA=OB=18cm， 故答案为：18
第11页
12．如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点I，且DE∥BC．BD=8cm，CE=5cm，则DE等于 3cm ．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【分析】由BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点I，且DE∥BC，易得△BDI与△ECI是等腰三角形，继而求得答案．
【解答】解：∵BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF， ∴∠ABI=∠CBI，∠ECI=∠ICF， ∵DE∥BC，
∴∠DIB=∠CBI，∠EIC=∠ICF， ∴∠ABI=∠DIB，∠ECI=∠EIC， ∴DI=BD=8cm，EI=CE=5cm， ∴DE=DI﹣EI=3（cm）． 故答案为：3cm．
13．铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160cm，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30cm，长与宽的比为3：2，则该行李箱的长的最大值为 78 cm． 【考点】一元一次不等式的应用．
【分析】设长为3x，宽为2x，再由行李箱的长、宽、高之和不超过160cm，可得出不等式，解出即可．
【解答】解：设长为3x，宽为2x， 由题意，得：5x+30≤160， 解得：x≤26，
故行李箱的长的最大值为78． 故答案为：78cm．
第12页
14．如图，在一张长为18cm、宽为16cm的长方形纸片上，现要剪一个腰长为10cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上），则剪下的等腰三角形的面积是 50cm2或40cm2或30cm2 ．
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．
【分析】分3种情况进行讨论：（1）当AE=AF=10cm时（如图1），直接求出三角形的面积； （2）当AE=EF=10cm时（如图2），根据勾股定理，求出BF，再求出三角形的面积； （3）当AE=EF=10cm时（如图3），根据勾股定理，求出DF，再求出三角形的面积． 【解答】解：分3种情况： （1）当AE=AF=10cm时， 如图1所示：
S△AEF=AE?AF=50（cm2） （2）当AE=EF=10cm时， 如图2所示： BF=
=8（cm）
S△AEF=AE?BF=40（cm2） （3）当AE=EF=10cm时 如图3所示： DF=
=6cm
∴S△AEF=AE?DF=30（cm2）；γ
故答案为：50cm2或40cm2或30cm2．
第13页
三、解答题
15．用适当的符号表示下列关系： （1）y的一半与5的差是非负数：
（2）x的3倍与1的和小于x的2倍与5的差． 【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式．
【分析】（1）首先表示y的一半为y，再表示与5的差为y﹣5，然后表示非负数即可； （2）x的3倍与1的和表示为3x+1，x的2倍与5的差表示为2x﹣5，然后再抓住关键词“小于”列出不等式．
【解答】解：（1）根据题意，可得： y﹣5≥0；
（2）根据题意，得：3x+1＜2x﹣5．
16．解下列不等式
≤
﹣1，并将解集在数轴上表示出来．
第14页
【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则在数轴上将解集表示出来．
【解答】解：去分母，得：4（2x﹣1）≤3（3x+2）﹣12， 去括号，得：8x﹣4≤9x+6﹣12， 移项，得：8x﹣9x≤6﹣12+4， 合并同类项，得：﹣x≤﹣2， 系数化为1，得：x≥2， 解集在数轴上表示为：
17．如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O，求证：△ABC≌△DCB．
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据已知条件，用HL即可证明△ABC≌△DCB． 【解答】证明：在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，
，
∴△ABC≌△DCB（HL）．
18．如图，已知方格纸中的每个小方格都是相同的正方形（边长为1），我们把小正方形的顶点称为格点，请你只用直尺和铅笔，完成下列作图； （1）如图（1）作一点M，使MA=MB，MC=MD．
（2）如图（2）方格纸上有一个角∠AOB，小方格的顶点（格点）上标出一个点P，使P落在∠AOB
第15页
的平分线上．
【考点】作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质．
【分析】（1）如图1中，线段AB的垂直平分线EF与线段CD的垂直平分线GH的交点即为所求的点M．
（2）如图2中，连接AB、EF的交点为G，作射线OG，在射线OG上取格点（如图所示）． 【解答】解：（1）如图1中，线段AB的垂直平分线EF与线段CD的垂直平分线GH的交点即为所求的点M．
（2）如图2中，连接AB、EF的交点为G，作射线OG，在射线OG上取格点（如图所示）．
19．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E两点． （1）求证：△ACD是等腰三角形；
（2）若AE=5，△CBD的周长为24，求△ABC的周长．
第16页
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质． 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DC，证明结论；
（2）根据线段的垂直平分线的定义得到EC=EA=5，根据△CBD的周长为24，得到答案． 【解答】（1）证明：∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA=DC，
∴△ACD是等腰三角形；
（2）解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴EC=EA=5，
∵△CBD的周长为24， ∴CB+BD+CD=24， ∴CB+AB=24，
∴△ABC的周长=AC+BC+AB=34．
20．为建设“生态园林城市”吉安市绿化提质改造工程正如火如茶地进行，某施工队计划购买甲、乙
两种树苗共400棵对某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．
（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？ （2）若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？ 【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用．
【分析】（1）设需购买甲种树苗x棵，则需购买乙种树苗棵，根据“购买两种树苗的总金额为90000元”列一元一次方程求解即可得；
（2）设购买甲种树苗a棵，则需购买乙种树苗棵，根据“购买甲种树苗的金额≥购买乙种树苗的金额”列不等式求解可得．
【解答】解：（1）设需购买甲种树苗x棵，则需购买乙种树苗棵， 根据题意，得：200x+300=90000， 解得：x=300，
第17页
∴购买乙种树苗400﹣300=100（棵），
答：需购买甲种树苗300棵，则需购买乙种树苗100棵；
（2）设购买甲种树苗a棵，则需购买乙种树苗棵， 根据题意，得：200a≥300， 解得：a≥240，
答：至少应购买甲种树苗240棵．
21．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证： （1）△AEF≌△CEB； （2）AF=2CD．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【分析】（1）由AD⊥BC，CE⊥AB，易得∠AFE=∠B，利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB； （2）由全等三角形的性质得AF=BC，由等腰三角形的性质“三线合一”得BC=2CD，等量代换得出结论．
【解答】证明：（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠BCE+∠CFD=90°，∠BCE+∠B=90°， ∴∠CFD=∠B， ∵∠CFD=∠AFE， ∴∠AFE=∠B
在△AEF与△CEB中，
，
∴△AEF≌△CEB（AAS）；
第18页
（2）∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BC=2CD， ∵△AEF≌△CEB， ∴AF=BC， ∴AF=2CD．
22．某公交公司有A、B两种客车，它们的载客数量和租金如表；
A 45 400
B 30 280
载客量（人/辆） 租金（元/辆）
红星中学根据实际情况，计划租用A，B型客车共5辆，同时送八年级师生到基地校参加社会实践活动，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题； （1）用含x的式子填写表格
车辆数（辆）
x 5﹣x
载客量 45x 30（5﹣x）
租金（元）
400x 280（5﹣x）
A B
（2）若要保证租车费用不超过1900元，求x的最大值；
（3）在（2）的条件下，若七年级师生共有195人，写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案．
【考点】一元一次不等式的应用．
【分析】（1）根据题意，载客量=汽车辆数×单车载客量，租金=汽车辆数×单车租金，列出代数表达式即可；
（2）根据题意，表示出租车总费用，列出不等式即可解决；
（3）由（2）得出x的取值范围，一一列举计算，排除不合题意方案即可． 【解答】解：（1）∵载客量=汽车辆数×单车载客量，租金=汽车辆数×单车租金， ∴B型客车载客量=30（5﹣x）；B型客车租金=280（5﹣x）； 填表如下：
车辆数（辆） 载客量 租金（元）
第19页
A B
x 5﹣x
45x 30（5﹣x）
400x 280（5﹣x）
（2）根据题意，400x+280（5﹣x）≤1900，解得：x≤4， ∴x的最大值为4；
（3）由（2）可知，x≤4，故x可能取值为0、1、2、3、4，
①A型0辆，B型5辆，租车费用为400×0+280×5=1400元，但载客量为45×0+30×5=150＜195，故不合题意舍去；
②A型1辆，B型4辆，租车费用为400×1+280×4=1520元，但载客量为45×1+30×4=165＜195，故不合题意舍去；
③A型2辆，B型3辆，租车费用为400×2+280×3=1640元，但载客量为45×2+30×3=180＜195，故不合题意舍去；
④A型3辆，B型2辆，租车费用为400×3+280×2=1760元，但载客量为45×3+30×2=195=195，符合题意；
⑤A型4辆，B型1辆，租车费用为400×4+280×1=1880元，但载客量为45×4+30×1=210，符合题意；
故符合题意的方案有④⑤两种，最省钱的方案是A型3辆，B型2辆． 故答案为：30（5﹣x）；280（5﹣x）．
23．我们引入如下概念，
定义；到三角形的两条边的距离相等的点，叫做此三角形的准内心，举例：如图1，PE⊥BC，若PE=PD则P为△ABC的准内心
（1）填空；根据准内心的概念，图1中的点P在∠BAC的 平分线上 上．
（2）应用；如图2，△ABC中，AC=BC=13，AB=10，准内心P在AB上，求P到AC边的距离PD的长．
（3）探究；已知△ABC为直角三角形，AC=BC=6，∠C=90°，准内心P在△ABC的边上，试探究PC的长．
第20页
【考点】三角形综合题．
【分析】（1）根据准内心的概念，即可判断．
（2）根据三线合一先证明PC是高是中线，再根据?AC?PD=?AP?PC，即可解决问题． （3）分三种情形①点P在AB边上，②点P在AC边上，③点P在BC边上，分别讨论即可． 【解答】解：（1）如图1中，
∵PE⊥BC，PD⊥AC，PE=PD， ∴点P在∠ACB的平分线上． 故答案为角平分线．
（2）如图2中，
∵点P是△ABC的准内心， ∴∠ACP=∠BCP， ∵CA=CB=13，
∴PC⊥AB．AP=PB=5， ∴PC=
=
=12．
第21页
∵?AC?PD=?AP?PC， ∴PD=
=，
（3）如图3中，
当点P在AB边上时，∵CA=CB=6，∠ACB=90°， ∴AB=
=6
，
∵点P是△ABC的准内心， ∴∠PCB=∠PCA， ∴PA=PB， ∴PC=AB=3
．
如图4中，当点P在AC边上时，作PE⊥AB于E，则AE=PE，设AE=PE=x．
∵点P是△ABC的准内心， ∴∠PBA=∠PBC， ∵PE⊥AB，PC⊥BC， ∴PE=PC=x， ∵AP+PC=6， ∴x=6
x+x=6， ﹣6，
﹣6．
第22页
∴PC=6
如图5中，
当点P在BC边上时，同理可得PC=6
﹣6．
24．如图（a），已知点B（0，6），点C为x轴上一动点，连接BC，△ODC和△EBC都是等边三角形．
（1）求证：BO=DE．
（2）如图（b），当点D恰好落在BC上时， ①求OC的长及点E的坐标；
②在x轴上是否存在点P，使得△PEC为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；如不存在，说明理由．
③如图（c），点M是线段BC上的动点（点B，C除外），过点M作MG⊥BE于点G，MH⊥CE于点H，当点M运动时，MH+MG的值是否发生变化？如不会变化，直接写出MH+MG的值；如会变化，简要说明理由．
【考点】三角形综合题．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到BC=CE，OC=CD，∠OCD=∠BCE=60°，求得∠OCB=∠DCE，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）①由点B（0，6），得到OB=6，根据全等三角形的性质得到∠CDE=∠BOC=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEC=30°，求得CE=4如图d，当CE=CP=4
，过E作EF⊥x轴于F，角三角形即可得到结论；②存在，
时，当CE=PE，根据等腰三角形的性质即可得到结论；③不会变化，如图c，
第23页
连接EM，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（1）∵△ODC和△EBC都是等边三角形， ∴BC=CE，OC=CD，∠OCD=∠BCE=60°， ∴∠OCB=∠DCE， 在△BCO与△ECD中，∴△BCO≌△ECD， ∴BC=CE；
，
（2）①∵点B（0，6）， ∴OB=6，
由（1）知△BCO≌△ECD， ∴∠CDE=∠BOC=90°， ∴DE⊥BC，
∵△EBC是等边三角形， ∴∠DEC=30°， ∴∠OBC=∠DEC=30°， ∴OC=∴CE=4
OB=2，
，BC=4
，
过E作EF⊥x轴于F， ∵∠DCO=∠BCE=60°， ∴∠ECF=60°， ∵CE=BC=4∴CF=2∴E（4
，
CE=6，
，EF=，6）；
②存在，如图d，当CE=CP=4∵OC=2∴OP1=2∴P1（﹣2
时，
， ，OP2=6
，
，0）；
第24页
，0），P2（6
当CE=PE， ∵∠ECP=60°，
∴△CPE是等边三角形， ∴P2，P3重合，
∴当△PEC为等腰三角形时，P（﹣2③不会变化，如图c，连接EM， ∵S△BCE=BC?DE=BE?GM+CE?MN， ∵BC=CE=BE， ∴GM+MN=DE=6，
∴MN+MG的值不会发生变化．
，0），或（6
，0）；
第25页
2017年2月24日
第26页
八年级下第一次月考试卷--数学（有答案）(2)
