三角函数图像的平移与伸缩问题
【问题探究】
在学习高中数学必修4的三角函数这部分内容的过程中，我们增加了三角函数的图像的变换这部分内容，主要要学习函数y=Asin(x+)+m(A0, 0)的图像是由ysinx的图像怎样变换得来的，这
f(x)的图像变换的内
要涉及的变换有平移变换与伸缩变换。而我们在后来复习函数时，也要增加函数y容。三角函数也属于函数，因此一般函数yf(x)的图像变换法则和方法对三角函数同样适用。所以为了
使平移变换与伸缩变换这部分内容更具有一般性，我想站在一般函数的高度来研究函数图像的平移变换与伸缩变换。多年的教学生涯让我对这两种变换有了深刻的认识，能够高度概括这两种变换。现在我想把自己对这两种变换的认识写成论文，供大家借鉴使用，提出建设性意见。
大家知道，ysinx的图像向上(下)平移10个单位，可得到y10sinx(y10sinx)，即
ysinx10(ysinx10)的图像；ysinx的图像向右(左)平移
?，可得到101))的图像；ysinx的图像横向伸长至原来的2倍(横向缩至原来的)，
1010211可得到ysinx(ysin2x)的图像；ysinx的图像纵向伸长至原来的3倍(纵向缩短至原来的)，
2311可得到ysinx(3ysinx)，即y3sinx(ysinx)的图像；我们可用表格把上述小题的变换内容
33ysin(x)(ysin(x与解析式的相应变化反映出来。表格为 变换内容 解析式的相应变化 1? 101向左平移? 10向右平移向下平移10 向上平移10 横向伸长至原2倍 横向缩短至原xx10 xyyx10y10 y10 x1x 21 2xyy2x 1y 33y 纵向伸长至原3倍 纵向缩短至原1 3从上面的表格，我们可以感到平移变换和伸缩变换有如下特点：
左加右减，下加上减；横向变换变x，纵向变换变y；各种变换均在x、y头上直接变；x、y的变化总与我们的感觉相反。例如，向左或向右平移、横向伸长或横向缩短时变化的均为x；向上平移或向下平
移、纵向伸长或纵向缩短时变化的均为y；从这可以看出横向变换变x，纵向变换变y。向右平移我们感觉图像上的每个点的横坐标应增加
1?时，101；横向伸长至原来的2?，但x的变化却为把x变为x10101倍时，我们感觉每个点的横坐标应变为原来的2倍，但实际上x的变化却为把x变为x；从这可看出x、
2y的变化总与我们的感觉相反。从上面的解析式的相应变化中可看到，x、y的变化均是直接把x或y变成多少，其余一律照抄下来。例如，y的图像，而不是ysin(2x3)的图像向右平移2个单位，应得到ysin[2(x2)3])；ysin(2x)的图像横向伸长至原来的3倍，应得到
33121ysin(2x)，即ysin(x)的图像，而不是ysin[(2x)]的图像，这就体现了各种变
333333sin(2x2换均在x、y头上直接变。 【总结提升】
把平移变换和伸缩变换的规律总结成口诀，为：横向变换动x，纵向变换动y；直接在x、y头上动；解析式的相应变化总与我们的感觉相反。这个变换不但对三角函数适用，对任意函数也适用。例如，
y2xx2的图像向右平移3个单位，得到y2x3(x3)2的图像。
教学生应用口诀时，要把口诀具体转化为式子表示出来，就像那个表格中的一样，向右平移3个单位，就把x变为x3；横向伸长至原来的3倍，就把x变为3个单位，应得到y1x。例如，函数y3f(2x)的图像向右平移
f[2(x3)]的图像，而不是yf(2x3)的图像；函数yf(x2)的图像横向伸
长至原来的3倍，应得到y地方，用式子x11f(x2)的图像，而不是yf[(x2)]的图像。这里是学生容易出错的331x来表达口诀，学生较易接受，犯错的机率也大幅下降。 x3，x3还有，纵向变换动y，是在y头上直接动。学生可能以前纵向变换是在解析式等号的右边进行变式的，如果是这样变换方法就与刚才总结的口诀不相符了，只有强调直接在y头上动，才符合本文中的口诀，这与以前的不矛盾，只是改变了变式的左右面。
只有从本质上掌握了平移变换和伸缩变换的方法，才能应对各种复杂和连续的变换的题目，才能学会变换的逆向使用和变形使用。例如，ysinx的图像经过怎样的变换能得到y112sin(x)的图像
36呢？应有好几个变换方法，需要进行横向平移、横向伸缩、纵向伸缩，纵向伸缩第几步执行都可以，横向
平移和横向伸缩谁先谁后将使横向平移时的平移量不一样。只有从本质上掌握了平移变换和伸缩变换的方法，才能体会到这一点。
以上是我多年教学中对变换的一点点感受，我认为学生在这个知识点上认识不足，不能掌握到位，所以写了一篇这样的论文。文中难免有不足之处，还望专家和同仁指出。
三角函数图象的平移与伸缩问题
