范围、最值问题
x2y221、已知椭圆C：2?2?1(a>b>0)的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，点F1、
2abF2分别是椭圆的左、右焦点，在直线x=2上的点P(2, 3)满足|PF2|=|F1F2|，直线l：y=kx+m
与椭圆C交于不同的两点A、B.（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）若在椭圆C上存在点Q，满足OA?OB??OQ（O为坐标原点），求实数? 的取值范围.
?c22?c?1,,??x解：依题意有?a得? ?b?1．?方程2?y2?1．… 5分
2?(2c)2?(2?c)2?3.?a?2.??y?kx?m,222（Ⅱ）由?2得(1?2k)x?4kmx?2m?2?0． 2?x?2y?2,4km?x?x??,122??1?2k设点A、B的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)，则? …………7分, 22m?2?xx?.12?1?2k2?2my1?y2?k(x1?x2)?2m?．
1?2k2（1）当m?0时，点A、B关于原点对称，则??0． （2）当m?0时，点A、B不关于原点对称，则??0，
?4km?1?x?xQ?(x1?x2),?Q?(1?2k2),????由OA?OB??OQ，得? 即?
2m1?y??y?(y?y)..QQ122????(1?2k)???4km22m2]?2[]?2， ?点Q在椭圆上，?有[22?(1?2k)?(1?2k)化简，得4m(1?2k)??(1?2k)．?1?2k2?0，?有4m??(1?2k)…①…
10分
???16k2m2?4(1?2k2)(2m2?2)?8(1?2k2?m2)?由??0，得1?2k2?m2② 由①、②两式得4m2??2m2．?m?0，??2?4，则?2???2且??0．
综合（1）、（2）两种情况，得实数?的取值范围是?2???2． …………………14分
x2y22、如图，已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的一个焦点
ab是?1,0?，两个焦点与短轴的一个 端点构成等边三角形.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q?4,0?且不与坐标轴垂直的直线
交椭圆C于A、B两点，设点A关于x轴的对称点为A1.
（ⅰ）求证：直线A1B过x轴上一定点，并求出此定点坐标； （ⅱ）求△OA1B面积的取值范围.
解：（Ⅰ）因为椭圆C的一个焦点是?1,0?，所以半焦距c?1.
22222222椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.所以
得a?2,b?3.
c1?，解a2
x2y2?1. ………… 4分 所以椭圆的标准方程为?43x2y2 ?1联立并消去x得：（Ⅱ）（i）设直线l：x?my?4与?433m2?4y2?24my?36?0.记A?x1,y1?，B?x2,y2?，
???24m36yy?. ……………… 5分 ，123m2?43m2?4由A关于x轴的对称点为A1，得A1?x1,?y1?，根据题设条件设定点为T?t,0?，
y2y?1. 得kTB?kTA1，即
x2?tt?x1y1?y2?所以t?2my1y2x2y1?y2x1?4?my2?y1??4?my1?y2?4??4?3?1 ?y1?y2y1?y2y1?y2即定点T?1,0?
8分
（ii）由（i）中判别式??0，解得m?2. 可知直线A1B过定点T?1,0?
11所以S?OA1B?OT?y2???y1??y2?y1 …………………………… 10分
22124m4S?OA1B??444，令t?m,记??t??t?，得???t??1?2，当t?2时，24?3m2得m?3t3t3m4???t??0.??t??t?在?2,???上为增函数，
3t
所以m?42833?2?? ，得0?S?OA1B?4??， 3m3382?3?故△OA1B的面积取值范围是?0,?. ………………………………… 13分
?2?x2y23、如图，在椭圆2??1(a?0)中，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，B、D分别为椭
8a圆的左、右顶点，A为椭圆在第一象限内的任意一点，直线AF1交椭圆于另一点C，交y轴
于点E，且点F1、F2三等分线段BD。（I）求a的值； （II）若四边形EBCF2为平行四边形，求点C的坐标。 （III）设??S?AF1OS?AEO,??S?CF1OS?CEO,求???的取值范围。
解：（I）∵F1，F2三等份BD，
?|F1F2|?11|BD|,即2c??2a,a?3c …………1分 33
?a2?b2?c2,b2?8,?a2?9,?a?0,?a?3. ……3分
（II）由（I）知a?3,B(?3,0),F1(?1,0),?F1为BF2的中点，
若四边形EBCF2为平行四边形,?C,E关于F1(?1,0)对称,设C(x0,y0),则E(?2?x0,y0),E在y轴上,??2?x0?0,x0??2,5分
222x0y04y0210点(x0,y0)在椭圆上,???1,???1,解得y0??,98983依题意y0??210210,因此点C的坐标为(?2,?)33
6分（III）依题意直线AC的斜率存在，
?x2y2?1???直线AC:y?k(x?1),A(x1,y1),C(x2,y2)由?98?y?k(x?1)?18k29(k2?8)2222,x1x2? 得(8?9k)x?18kx?9(k?8)?0,x1?x2?? 28?9k8?9k21S?AF`1O2|AF1|h|AF1|1?k2|?1?x1||x1?1|x1?1???????,21S?AEO|x1|x11?k|0?x1||AEh||AE|2 同理可求??1?x2 x2????1?x11?x1x2(1?x1)?x1(1?x2)2x1x2?x1?x2???x1x2x1x2x1x218k2?2x1?x2?2k22(k2?8)?16168?9k?2??2??2??2???,??11分x1x29(k2?8)k2?8k2?8k2?88?9k2?点A在第一象限,?0?k2?8,16161611令t??2,则k2?8?,?0?8??8,即0??,ttt2k?8 解得t?2,即???的取值范围是t?2.????13分 x24、求F1、F2分别是椭圆?y2?1的左、右焦点.
4（Ⅰ）若r是第一象限内该数轴上的一点，PF1?PF2??225，求点P的作标； 4（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且∠ADB为锐角（其中O为作标原点），求直线l的斜率k的取值范围.
【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线最值问题
