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30.设f(x)?e2x?1，则 f(2007)(0)?_________
解：f(n)(x)?2ne2x?1? f(2007)(0)?22007e?1。
31.设??x?3t?1，则dy?y?2t2?t?1dx?__________ t?1解：
dydx?4t?13? dydx?1。 t?132. 若函数f(x)?ax2?bx在x?1处取得极值2，则a?______，
b?_____
解：f?(x)?2ax?b?0?2a?b?0；a?b?2?a??2;b?4。 33. ?f?(x)f(x)dx? _________ 解：?f?(x)f(x)dx??df(x)f(x)?ln|f(x)|?C。 34．?11?x20dx?_________
解：?11?01?x2dx?4S圆?4。
35.向量a??3?i?4?j?k?的模|a?|?________
解：|3?i?4?j?k?|?9?16?1?26。
36. 已知平面?1：x?2y?5z?7?0与平面?2：4x?3y?mz?13?0垂直，则m?______
解：n??1?{1,2,?5};n2?{4,3,m}?4?6?5m?0?m?2。
37.设f(x?y,xy)?x2?y2，则f(x,y)?________
解：f(x?y,xy)?x2?y2?(x?y)2?2xy?f(x,y)?x2?2y。 2 38.已知I??20dy?1?y2yf(x,y)dx，交换积分次序后，则I?_______
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解：D???(x,y)|0?y?2,2??2y?x?1?y?
?
???(x,y)|0?x?2,0?y?x??2?????(x,y)|2?x?1,0?y?1?x2??2?，所
?2以次序交换后为?2x0dx?f(x,y)dy??11?x202dx)dy。
2?0f(x,y?39.若级数?1?收敛，则级数n?1u???1?1??的和为 _______ nn?1??unun?1??解：S????11??11?11?1n??u?1u?2??????u??2u3????????u??nun?1???u?11u，而n?1lim11n??u?0，所以S?limn??Sn?n?1u。 140.微分方程y???2y??y?0的通解为________
解：有二重特征根1，故通解为y?C1ex?C2xex（C1,C2为任意常数）。 得评卷人
分 三、判断题（每小题2分，共10分） 你认为正确的在题后括号内划“√”，反之划“×”.
41.若数列?xn?单调，则?xn?必收敛.
( )
解：如数列?n?单调，但发散，应为×。
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42.若函数f(x)在区间?a,b?上连续，在(a,b)内可导，且f(a)?f(b)，则
得评卷人
四、计算题（每小题5分，共40分）
分 一定不存在??(a,b)，使f?(?)?0. ( )
解：如y?x2在??1,3?满足上述条件，但存在??0?[?1,3]，使得
f?(?)?0，应为×。
43.limx?sinx由洛比达法则1?cosxsinx??x?sinx??????limx??1?cosx?limxx???sinx??1.
( )
解：第二步不满足00或??，是错误的，事实上
sinxlimx?sinx1?xx??x?sinx?limx???1。应为×。 1?sinxx44.0??ln201?e?2xdx?32ln2. ( )
解：因0?1?e?2x?1，由定积分保序性知：
0??ln201?e?2xdx?ln2?32ln2，应为√。 45.函数f(x,y)在点P(x,y)处可微是f(x,y)在P(x,y)处连续的充分条件.( )
解：f(x,y)在点P(x,y)处可微可得f(x,y)在点P(x,y)处连续，反之不成立，应为应为√。
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46．求xlimsinx?0?x.
解： sinxsinxlnxlnxsinxlim?0?x?xlim?0?e?exlim?0sinx??x~xelimx?0?xlnx
1limlnx1?limxx?0?x?0?1?ex????e?x2?e?lim?xx?0?e0?1。
47.求函数y?x2?31?xdy1?x的导数dx.
解： 两边取自然对数得 ln|y|?2ln|x|?13?ln|1?x|?ln|1?x|?，----（1分）
两边对x求导得：
1yy??2x?1??11?3??1?x?1?x??，-------（3分） 即y??y??2?x?11?3(x?1)?3(x?1)??，------（4分） 故
dy1?x?211?dx?x231?x??x?3(x?1)?3(x?1)??。-----（5分） 48.求不定积分?[e2x?ln(1?x)]dx. 解：?[e2x?ln(1?x)]dx?12?e2xd(2x)??ln(1?x)dx ----（1分） ?12e2x?xln(1?x)??x1?xdx -----（3分） 精品资料
?12e2x?xln(1?x)?????1?1?1?x??dx--（4分） ?12e2x?xln(1?x)?x?ln(1?x)?C。----（5分）
49.计算定积分??02?2cos2xdx .
解：因2?2cos2x?2(1?cos2x)?4cos2x，所以
??2?02?2cos2xdx???04cosxdx??02|cosx|dx-----（2分）
??2?2cosxdx?2??0?cosxdx------（4分）
2??2sinx?2sinx?02??2?2?4。-----（5分）
250.设z?f(exsiny,3x2y)，且f(u,v)为可微函数，求dz.
解：令exsiny?u,3x2y?v ，有z?f(u,v)，利用微分的不变性得 dz?fu?(u,v)du?fx2v?(u,v)dv?fu?d(esiny)?fv?d(3xy)----（3分） ?fxx2u?(esinydx?ecosydy)?fv?(6xydx?3xdy)------（4分） ?(exsinyfu??6xyfv?)dx?(excosyfu??3x2fv?)dy---（5分） 51．计算??x2dxdy，其中D为圆环区域：1?x2?y2?4.
D解：积分区域D如图07-1所示：D的边界x2?y2?1、x2?y2?4用极坐标表示分别为r?1，r?2；故积分区域D在极坐标系系下为?y
(r,?)|0???2?,1?r?2?，----（2分）
故??x2dxdy??2?d??2r2cos2??rdr----（3分） r?1 r?2 D01o x
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图07-1
2 ??2?cos2?d??2r3dr2?r4201??04cos?d? 1 ?152?4?0cos2?d??152?8?02cos2?d?---（4分） ?158?2?0(1?cos2?)d??158(??12?2sin2?)?15?。---（5分）
0452．将
2x4?x2展开为x的幂级数，并写出收敛区间. 解： 因
2x114?x2?2?x?12?x??1；---（2分）
2(1?x)2(1?x22)11?x???xnx?(?1,1)。
n?01?所以
?xnx?????x?(?2,2)；1??x?nx?(?2,2)。--（3
1?n?0?2?1?x?????2?n?0?22分）
nn?故2x??4?x2?12????x???1?????x?2???1?(?1)n?--（4
n?0?2?2n?0???n?0??2n?1?n?xx?(?2,2)分）
? ??1(?2,2)。--（5分）
n?022n?1x2n?1x?53．求微分方程x2dy?(y?2xy?x2)dx?0的通解. 解：方程可化为y??1?2xx2y?1，这是一阶线性非齐次微分方程，---（1分）
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1它对应的齐次方程y??1?2xx2y?0的通解为y?Cx2ex，---（2分）
11设原方程有通解y?C(x)x2ex，代入方程得C?(x)x2ex?1，
1即 C?(x)?1?xx2e，--（3分）
11所以 C(x)??1??x2exdx?ex?C，---（4分）
1故所求方程的通解为y?Cx2ex?x2。---（5分） 得评卷人
分 五、应用题（每题7分，共计14分）
54. 某工厂欲建造一个无盖的长方题污水处理池，设计
该池容积为V立方米，底面造价每平方米a元，侧面造价每平方米b元,问长、宽、高各为多少米时，才能使污水处理池的造价最低？
解：设长方体的长、宽分别为x,y ，则高为Vxy，又设造价为z，---（1分）
由题意可得 z?axy?2b(x?y)V2bV2xy?axy?bVy?x(x?0,y?0)；---（3分） 而
?z2?x?ay?2bV?zx2; ?y?ax?bVy2;在定义域内都有意义. 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢34
???z令???x?ay?2bVx2?02bV??z2得唯一驻点x?y?3，-----（5分）
???y?ax?bVay2?0由题可知造价一定在内部存在最小值，故x?y?32bVa就是使造价最小3
aV2
的取值，此时高为2b
。
所以，排污无盖的长方体的长、宽、高分别为32bVaV2a、32bVa、3
2b时，工程造价最低。---（7分）
55. 设平面图形D由曲线y?ex,直线y?e及y轴所围成.求：
（1）平面图形D的面积;
y
y?ex
(2) 平面图形D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积e . 解：平面图形D如图07-2所示：---（1分） 1 x 取x为积分变量，且x?[0,1] o 1 （1）平面图形D的面积为
图07-2 S??10(e?ex)dx----（3分）
?(ex?ex)10?1。----（4分）
（2）平面图形D绕y轴旋转一周所生成 旋转体的体积为 V1x1y?2??x?e?e?dx?2?e?xdx?2??1xex000dx
x21 ?2?e1xx12?2??0xde??e?2?xe0?2??1ex00dx
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??e?2?e?2?exe10??(e?2)。-----（7分）
ee或Vy???(lny)2dy??(lny)2y???2lnydy
111 ??e?2??lnydy??e?2?ylny1?2??dy
11eee ??e?2?e?2?(e?1)??(e?2)。 得分
56.若f?(x)在[a,b]上连续，则存在两个常数m与M，
对于满足a?x1?x2?b的任意两点x1,x2，证明恒有
m(x2?x1)?f(x2)?f(x1)?M(x2?x1).
评卷人
六、证明题（6分）
证明： 因f?(x)在[x1,x2]有意义，从而f(x)在[x1,x2]上连续且可导，即
f(x)在[x1,x2]上满足拉格朗日中值定理的条件，-----（2分）
故存在??(x1,x2)，使得
f(x2)?f(x1)?f?(?)，----（3分）
x2?x1又因f?(x)在[a,b]上连续，根据连续函数在闭区间上最值定理知，f?(x)在[a,b]上既有最大值又有最小值，不妨设m,M分别是最小值和最大值，从而
x?(a,b)时，有m?f?(x)?M。------（5分）
即 m?f(x2)?f(x1)?M，
x2?x1故 m(x2?x1)?f(x2)?f(x1)?M(x2?x1)。---（6分）
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