考研数学二（向量）-试卷1
(总分：58.00，做题时间：90分钟)
一、选择题(总题数：4，分数：8.00)
1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 2.设n维列向量组α 1 …，α m (m＜n)线性无关，则n维列向量组β 1 …，β m 线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）
A.向量组α 1 …，α m 可由向量组β 1 …，β m 线性表示． B.向量组β 1 …，β m 可由向量组α 1 …，α m 线性表示． C.向量组β 1 …，β m 与向量组α 1 …，α m 等价． D.矩阵A=(α 1 …，α m )与矩阵B=(β 1 …，β m )等价．
3.设向量组(I)α 1 ,α 2 ……α s 的秩为r 1 ，向量组(Ⅱ)β 1 β 2 ……β t 的秩为r 2 ，向量组(Ⅲ)α 1 ,α 2 ……α s ，β 1 β 2 ……β t 的秩为r 3 ，则下列结论不正确的是( )（分数：2.00） A.若(I)可由(Ⅱ)线性表示，则r 2 =r 3 ． B.若(Ⅱ)可由(I)线性表示，则r 1 =r 3 ． C.若r 1 =r 3 ，则r 2 ＞r 1 ． D.若r 2 =r 3 ，则r 1 ≤r 2 ．
4.已知向量组(I)α 1 ,α 2 ,α 3 ；(Ⅱ)α 1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 ；(Ⅲ)α 1 ,α 2 ,α 3 ,α 5 ，如果各向量组的秩分别为r(I)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4，则向量组α 1 ,α 2 ,α 3 ，α 5（分数：2.00） A.2． B.3． C.4． D.5．
二、填空题(总题数：7，分数：14.00)
5.已知向量组α 1 =(1，2，3，4)，α 2 =(2，3，4，5)，α 3 =(3，4，5，6)，α 4 =(4，5，6，7)，则该向量组的秩是 1．（分数：2.00） 填空项1:__________________
6.已知向量组α =(1，2，一1，1)，α =(2，0，t，0)，α =(0，一4，5，一2)的秩为2，则t= 1．（分1 2 3 数：2.00）
填空项1:__________________ 7.从R 的基 2
（分数：2.00）
T
T
T
填空项1:__________________
8.已知3维空间的一组基为α 1 =(1，1，0) ，α 2 =(1，0，1) ，α 3 =(0，1，1) ，则向量u=(2，0，0) 在该组基下的坐标是 1．（分数：2.00） 填空项1:__________________
9.已知向量组α 1 =(1，1，1，1)，α 2 =(2，3，4，4)，α 3 =(3，2，1，k)所生成的向量空间的维数是2，则k= 1．（分数：2.00） 填空项1:__________________
10.设α 1 ,α 2 ,α 3 是3维向量空间R 的一组基，则由基 填空项1:__________________
11.向量空间V={x=(x 1 ,x 2 ,……x n )T｜x 1 ,x 2 ,……x n =0，x 1 ,x 2 ,……x n ∈R}的维数为 1．（分数：2.00）
填空项1:__________________
3
T
（分数：2.00）
三、解答题(总题数：18，分数：36.00)
12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
__________________________________________________________________________________________ 13.确定常数α使向量组α 1 =(1，1，a) ，α 2 =(1，n，1) ，α 3 =(a，1，1) 可由向量组β 1 =(1，1，a) ，β 2 =(一2，a，4) ，β 3 =(-2，a，a) 线性表示，但向量组β 1 ，β 2 ，β 3 不能由向量组α 1 ,α 2 ,α 3 线性表示．（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 14.设向量组(I)：α 1 =(2，4，一2) ，α 2 =(一1，a一3，1) ，α 3 =(2，8，b一1) ；(Ⅱ)：β 1 =(2，b+5，一2) ，β 2 =(3，7，a一4)T ，β 3 =(1，2b+4，一1) ．问．(1)a，b取何值时，r(I)=r(Ⅱ)，且(I)与(Ⅱ)等价?(2)a，b取何值时，r(I)=r(Ⅱ)，但(I)与(Ⅱ)不等价?（分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 15.已知向量组A：α 1 =(0，1，2，3) ，α 2 =(3，0，1，2) ，α 3 =(2，3，0，1) ；B：β 1 =(2，1，1，2) ，β 2 =(0，一2，1，1) ，β 3 =(4，4，1，3) ．试证B组能由A组线性表示，但A组不能由B组线性表示．（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 16.已知向量组A：α 1 =(0，1，1) ，α 2 =(1，1，0) ；B：β 1 =(一1，0，1) ，β 2 =(1，2，1) ，β 3 =(3，2，一1) ．试证A组与B组等价．（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 17.设 （分数：2.00）
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
__________________________________________________________________________________________ 18.设向量组α 1 =(1，3，2，0) ，α 2 =(7，0，14，3) ，α 3 =(2，一1，0，1) ，α 4 =(5，1，6，2) ，α 5 =(2，一1，4，1) ，求该向量组的秩和一个极大线性无关组，并把不是极大线性无关组的向量用此极大线性无关组线性表示．（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 19.设向量组α 1 =(a，3，1) ，α 2 =(2，b，3) ，α 3 =(1，2，1) ，α 4 =(2，3，1) 的秩为2，求a，b的值及该向量组的一个极大线性无关组，并把其余向量用此极大线性无关组线性表示．（分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 20.已知向量组(I)β 1 =(0，1，一1) ，β 2 =(a，2，1) ，β 3 =(b，1，0) 与向量组(Ⅱ)α 1 =(1，2，一3) ，α 2 =(3，0，1) ，α 3 =(a，b，一7) 有相同的秩，且β 3 可由α 1 ,α 2 ,α 3 线性表示，求a，b的值．（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 21.求单位向量β 3 ，使向量组β 1 =(1，1，0) ，β 2 =(1，1，1) ，β 3 与向量组α 1 =(0，1，1)
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
，α 2 =(1，2，1) ，α 3 =(1，0，一1) 的秩相同，且β 4 可由α 1 ,α 2 ,α 3 线性表示．（分
TT
数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 22.验证α 1 =(1，一1，0) ，α 2 =(2，1，3) ，α 3 =(3，1，2) 为R 的一个基，并把β 1 =(5，0，7) ，β 2 =(一9，一8，一13) 用这个基线性表示．（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 23.求一组向量α 1 ，α 2 ，使之与α 3 =(1，1，1) 成为R 的正交基；并把α 1 ,α 2 ,α 3 化成R 的一个标准正交基．（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 24.设V是向量组α 1 =(1，1，2，3) ，α 2 =(一1，1，4，一1) ，α 3 =(5，一1，一8，9) 所生成的向量空间，求V的维数和它的一个标准正交基．（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 设4维向量空间V的两个基分别为(I)α 1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 ；(Ⅱ)β 1 =α 1 +α 2 +α 3 ，β 2 =α 2 +α 3 ，β 3 =α 3 +α 4 ，β 4 =α 4 ，求（分数：4.00） (1).由基(Ⅱ)到基(I)的过渡矩阵；（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ (2).在基(I)和基(Ⅱ)下有相同坐标的全体向量．（分数：2.00）
T
T
T
T
3
3
T
T
T
T
T
3
__________________________________________________________________________________________ 25.设B是秩为2的5×4矩阵，α 1 =(1，1，2，3) ，α 2 =(一1，1，4，一1) ，α 3 =(5，一1，一8，9) 是齐次线性方程组Bx=0的解向量，求Bx=0的解空间的一个标准正交基．（分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 26.设α i =(α i1 ,α i2 ……α in ) (i=1，2，…，r，r＜n)是n维实向量，且α 1 ,α 2 ……α r 线性无关，已知β=(b 1 ，b 2 ，…，b n ) 是线性方程组 T
T
T
T
T
（分数：2.00）
T
__________________________________________________________________________________________ 27.设A=(α 1 ,α 2 ,α 3 )是5×3矩阵β 1 ，β 2 是齐次线性方程组A x=0的基础解系，试证α 1 ,α 2 ,α 3 ,β 1 ，β 2 线性无关．（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 28.已知3阶矩阵A与3维列向量x，使x，Ax，A x线性无关，且满足A x=3Ax一2A x，令P=(x，Ax，A X) (1)求3阶矩阵B，使A=PBP ；(2)求｜A+E｜的值．（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
2
-1
2
3
2
考研数学二(向量)-试卷1.doc
