2019年
【2019最新】精选高考数学一轮复习坐标系与参数方程第1讲坐标系学案
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点1 坐标变换
平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变
换.
考点2 极坐标与直角坐标
1.极坐标系:在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时
针方向),就建立了极坐标系.
2.点的极坐标:对于极坐标系所在平面内的任一点M,若设|OM|=ρ(ρ≥0), 以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角为θ,则点M可用有序数对(,θ)表示.3.极坐标与直角坐标的互化公式:在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,射线Ox的正方向为极轴方向,取相同的长度单位,建立极坐标系.设点P的直角坐标
为(x,y),它的极坐标为(ρ,θ),则相互转化公式为
考点3 常用简单曲线的极坐标方程[考点自测]
1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)点P在曲线C上,则点P的极坐标一定满足曲线C的极坐标方程.( )
(2)tanθ=1与θ=表示同一条曲线(ρ≥0).( )
(3)点P的直角坐标为(-,),那么它的极坐标可表示为.( )
(4)过极点,作倾斜角为α的直线的极坐标方程可表示为θ=α或θ=π+
α(ρ∈R).( )
(5)圆心在极轴上的点(a,0)处,且过极点O的圆的极坐标方程为ρ=
2asinθ.( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
2019年
2.[2018·开封模拟]方程ρ=-2cosθ和ρ+=4sinθ的曲线的位置关系为
( )
A.相离 B.外切 C.相交 D.内切
答案 B
解析 方程ρ=-2cosθ化为直角坐标方程为(x+1)2+y2=1,ρ+=4sinθ 化为直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,两圆圆心距为=3=1+2,所以两圆外切.3.[2018·皖北协作区联考]在极坐标系中,直线ρ(cosθ-sinθ)=2与圆ρ
=4sinθ的交点的极坐标为( )
? B.??2,3? ??? D.??4,3? ??
ππ
A. C. 答案 A
解析 ρ(cosθ-sinθ)=2可化为直角坐标方程x-y=2,即y=x-2.
ρ=4sinθ可化为x2+y2=4y,把y=x-2代入x2+y2=4y,得4x2-8x+12=0,即x2-2x+3=0,所以x=,y=1.所以直线与圆的交点坐标为(,1),化为极 坐标为.故选A.4.[2018·株洲模拟]在极坐标系中,直线ρsin(θ+)=2被圆ρ=4截得的弦
长为( )
A.2 B.2 C.4 D.43
答案 D
解析 直线ρsin(θ+)=2可化为x+y-2=0,圆ρ=4可化为x2+y2=16,
由圆中的弦长公式得2=2=4.
5.[2017·北京高考]在极坐标系中,点A在圆ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=
0上,点P的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为________.
答案 1
解析 由ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0,得 x2+y2-2x-4y+4=0,即(x-1)2+(y-2)2=1, 圆心坐标为C(1,2),半径长为1.
∵点P的坐标为(1,0),∴点P在圆C外.
又∵点A在圆C上,∴|AP|min=|PC|-1=2-1=1.
6.[2017·天津高考]在极坐标系中,直线4ρcos+1=0与圆ρ=2sinθ的公
2019年
共点的个数为________.
答案 2
解析 由4ρcos+1=0得2ρcosθ+2ρsinθ+1=0,故直线的直角坐标方程
为2x+2y+1=0.
由ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ, 故圆的直角坐标方程为x2+y2=2y,
即x2+(y-1)2=1.圆心为(0,1),半径为1.
∵圆心到直线2x+2y+1=0的距离d==<1,∴直线与圆相交,有两个公共点.
板块二 典例探究·考向突破 考向 平面直角坐标系下图形的变换
例 1 在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图
形.
(1)2x+3y=0;(2)x2+y2=1.
解 由伸缩变换得到(*)
(1)将(*)代入2x+3y=0,得到经过伸缩变换后的图形方程是x′+y′=0.
因此,经过伸缩变换后,
直线2x+3y=0变成直线x′+y′=0.
(2)将(*)代入x2+y2=1,得到经过伸缩变换后的图形的方程是+=1.
因此,经过伸缩变换后,圆x2+y2=1变成椭圆+=1.
触类旁通
平面直角坐标系下图形的变换技巧
平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示.在伸缩变换下,直线仍然变成直线,抛物线仍然变成抛物线,双曲线仍然变成双曲线,圆可以变成椭圆,椭圆也可
以变成圆.
【变式训练1】 求椭圆+y2=1,经过伸缩变换后的曲线方程.
解 由得到①
将①代入+y2=1,得+y′2=1,即x′2+y′2=1.
因此椭圆+y2=1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2+y2=1.
考向 极坐标与直角坐标的互化
例 2 [2017·全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴
2019年
为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4.
(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的
轨迹C2的直角坐标方程;
(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.
解 (1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).
由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.
由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程为ρ=4cosθ(ρ>0).
因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).
(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).
由题设知|OA|=2,ρB=4cosα,于是△OAB的面积
??? S=|OA|·ρB·sin∠AOB=4cosα·??sin?α-3??
????
π
=2≤2+.
当α=-时,S取得最大值2+. 所以△OAB面积的最大值为2+.
触类旁通
直角坐标方程与极坐标方程互化的方法
直角坐标方程化为极坐标方程,只需把公式x=ρcosθ及y=ρsinθ直接代入并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形,构造形如ρcosθ,ρsinθ,ρ2的形式,进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时,方程必须保持同解,因此应注意
对变形过程的检验.
【变式训练2】 已知直线l的参数方程为(t为参数).在以坐标原点为极点,
x轴非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的方程为sinθ-ρcos2θ=0.
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)写出直线l与曲线C交点的一个极坐标.
解 (1)∵sinθ-ρcos2θ=0,∴ρsinθ-ρ2cos2θ=0,
即y-x2=0.
(2)将代入y-x2=0得, +t-2=0,即t=0,3 从而,交点坐标为(1,),
2019年
∴交点的一个极坐标为.
考向 极坐标方程及其应用
例 3 [2016·全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=
25.
(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜
率.
解 (1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ
+11=0.
(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).
设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程
代入C的极坐标方程,得ρ2+12ρcosα+11=0.
于是ρ1+ρ2=-12cosα,ρ1ρ2=11.
|AB|=|ρ1-ρ2|==.由|AB|=,得cos2α=,tanα=±.所以l的斜率为或
-.
触类旁通
极坐标方程及其应用的类型及解题策略
(1)求极坐标方程.可在平面直角坐标系中,求出曲线方程,然后再转化为极坐
标方程.
(2)求点到直线的距离、线段的长度.先将极坐标系下点的坐标、直线、曲线方程转化为平面直角坐标系下点的坐标、直线、曲线方程,然后利用直角坐标系中点到
直线的距离、线段公式求解.
【变式训练3】 在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),直线l的参数方程为(t为参数).在以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A,且点A的极坐标为(2,θ),
其中θ∈.
(1)求θ的值;
(2)若射线OA与直线l相交于点B,求|AB|的值.
解 (1)由题意知,曲线C的普通方程为x2+(y-2)2=4,
∵x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴曲线C的极坐标方程为(ρcosθ)2+(ρsinθ-
2020高考数学一轮复习坐标系与参数方程第1讲坐标系学案
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