第3讲 基本不等式
一、知识梳理 1．基本不等式：ab≤
a＋b
2
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
a＋b(3)其中称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数．
2[点拨] 应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”．忽略某个条件，就会出错．
2．利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p．(简记：积定和最小)
s2
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是．(简记：和定积最大)
4[点拨] 在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致．
常用结论
几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
?a＋b?2
(2)ab≤??(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
?2?
a2＋b2?a＋b?2(3)≥??(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． 2?2?ba
(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号． ab二、教材衍化
1．设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( ) A．80 C．81
B．77 D．82
?x＋y?2?18?2
解析：选C．xy≤?＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立，故选C． ?＝
?2??2?
2．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________．
?x＋y?2
解析：设矩形的长为x m，宽为y m，则x＋y＝10，所以S＝xy≤??＝25，当且仅
?2?
当x＝y＝5时取等号．
答案：25 m2
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) 1
(1)函数y＝x＋的最小值是2.( )
xa＋b?(2)ab≤??2?成立的条件是ab>0.( )
xy
(3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．( )
yx1
(4)若a>0，则a3＋2的最小值是2a.( )
a答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、易错纠偏
常见误区| (1)忽视不等式成立的条件a>0且b>0； (2)忽视定值存在； (3)忽视等号成立的条件． 1
1．若x<0，则x＋( )
xA．有最小值，且最小值为2 C．有最小值，且最小值为－2
解析：选D．因为x<0，所以－x>0，－x＋1
立，所以x＋≤－2.
x
4
2．若x>1，则x＋的最小值为________．
x－144
解析：x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.
x－1x－14
当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．
x－1
2
B．有最大值，且最大值为2 D．有最大值，且最大值为－2 1
≥21＝2，当且仅当x＝－1时，等号成－x
答案：5
3．设0 ?x＋1－x?21 解析：y＝2x(1－x)≤2??＝. ?2?2 1 当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立． 21答案： 2 考点一 利用基本不等式求最值(基础型) 复习指导 | 探索并了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 核心素养：逻辑推理 角度一 通过配凑法求最值 (1)已知0 44x－511?3x＋（4－3x）?24 【解析】 (1)x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)≤·?＝3， 33?2??当且仅当3x＝4－3x， 2 即x＝时，取等号． 35 (2)因为x<，所以5－4x>0， 4则f(x)＝4x－2＋1. 1 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立． 5－4x故f(x)＝4x－2＋ 1 的最大值为1. 4x－5 11＝－(5－4x＋)＋3≤－24x－55－4x 1 （5－4x）＋3≤－2＋3＝ 5－4x 2 【答案】 (1) (2)1 3 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 角度二 通过常数代换法求最值 11 1＋??1＋?的最小值为________． 已知a>0，b>0，a＋b＝1，则??a??b?11?a＋b??a＋b??b?1＋??1＋?＝?1＋【解析】 ? ??1＋?＝2＋·?a??b??a??b??a??2＋a?＝5＋2?b＋a?≥5＋4＝9.当且仅当a＝b＝1时，取等号． ?b??ab?2 【答案】 9 11 【迁移探究1】 (变问法)若本例中的条件不变，则＋的最小值为________． ab解析：因为a>0，b>0，a＋b＝1， 11a＋ba＋bba所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2 ababab1 ＝b＝时等号成立． 2 答案：4 111＋??1＋?【迁移探究2】 (变条件)若本例条件变为：已知a>0，b>0，4a＋b＝4，则??a??b?的最小值为________． b 解析：由4a＋b＝4得a＋＝1， 4 ba11 ·＝4，即＋的最小值为4，当且仅当aabab ?1＋1??1＋1? ?a??b??a＋b??a＋b? 4??4? ＝?1＋1＋?a??b? b5a2＋??＋? ＝??4a??4b?52a5b111＝＋＋＋≥＋22b16a44 51110＝＋.当且仅当42a＝5b时取等号． 842 1110答案：＋ 42 常数代换法求最值的步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 角度三 通过消元法求最值 若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是( ) 22 A． 3C． 3 3 B． 2 3 23D． 3 x>0，??x>0，1－x2?? 【解析】 因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，所以y＝.由?即?1－x2解 6x?y>0，?? ?6x>0，1－x22x1 得0 3x33x＝ 222 时取等号．故x＋2y的最小值为. 123【答案】 A 通过消元法求最值的方法 消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围． 1．(2020·辽宁大连第一次(3月)双基测试)已知正实数a，b满足a＋b＝(ab)，则ab的最小值为( ) A．1 B．2 C．2 D．4 3 2 2x1222x12·＝，当且仅当＝，即x＝，y33x333x2
第3讲 基本不等式 - 图文
