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2020届江苏省南通市高三下学期3月开学考试数学试题
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、填空题
1．已知集合M?x0?x?2,N?{xx?1}，则MIN?________________. 【答案】{x|1?x?2} 根据交集的定义，即得解. 解：
集合M?x0?x?2,N?{xx?1} 根据交集定义，MIN?{x|1?x?2} 点评：
本题考查了集合交集的运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 2．已知复数z满足?2?i?z?1?i,i为虚数单位,则复数z? 【答案】略
3．某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为45 s，黄灯时间为3 s，绿灯时间为60 s．从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为____． 【答案】
????1?3i 55. 12利用几何概型求解. 解：
由几何概型得遇到红灯的概率为故答案为：点评：
（1）本题主要考查几何概型，意在考查学生对知识的掌握水平.(2) 几何概型的解题步骤：首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题）；接着，如果是一维的问题，先确定试验的全部结果和事件A构成的区域长度（角度、弧长
455? ．
45?3?60125 12
等），最后代公式P(A)?构成事件A的区域长度；如果是二维、三维
试验的全部结果所构成的区域长度的问题，先设出二维或三维变量，再列出试验的全部结果和事件A分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代公式.
4．在某频率分布直方图中，从左往右有10个小矩形，若第一个小矩形的面积等于其余9个小矩形的面积和的【答案】150
设第一个小矩形面积为x，列出方程得6x?1，由此能求出样本容量． 解：
解：设第一个小矩形面积为x， 由6x?1，得x?1，且第一组数据的频数为25，则样本容量为__________. 51， 6?样本容量为25?6?150．
故答案为：150． 点评：
本题考查样本容量的求法，考查频率分布直线方图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．
5．如图是一个算法的流程图，则输出的k的值为__________.
【答案】7
分析：直接利用程序框图的循环结构求出结果. 解析：在执行循环前：k=1，S=1. 执行第一次循环时： S=1，k=3. 执行第二次循环时： S=3，k=5.
执行第三次循环时： S=15，k=7. 由于S>10，
?输出k=7.
故答案为：7.
点睛：（1）条件结构中条件的判断关键是明确条件结构的功能，然后根据“是”的分支成立的条件进行判断；
（2）对条件结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行两个分支中的一个，不能同时执行两个分支．
6．如图，棱长均为2的正四棱锥的体积为_______．
【答案】
42 3在正四棱锥中，顶点S在底面上的投影为中心O，即SO?底面ABCD，在底面正方形ABCD中，边长为2，所以OA=2，在直角三角形SOA中
SO?SA?OA?2?所以V?222?2?2?2
1142sh??2?2?2? 33342 3??π?π（）的图象向左平移个单位长度后，所得图??0?6?3故答案为
7．将函数f?x??sin??x?象关于直线x?π对称，则?的最小值为______. 【答案】
1 2利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性求得ω的最小值． 解：
将函数f（x）＝sin（ωx???）（ω＞0）的图象向左平移个单位后，可得函数y＝63
sin（ωx????3?6）的图象，再根据所得图象关于直线x＝π对称，可得ωπ
????3?6?kπ??，k∈Z， 21， 2∴当k＝0时，ω取得最小值为故答案为点评：
1． 2本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
8．已知f(x)是定义在R上的偶函数.当x?0时，f(x)?的解集为_______. 【答案】?2x?3，则不等式f(lnx)??x?1?14?,e? 4e??根据函数奇偶性和单调性的关系，将不等式进行转化进行求解即可． 解：
解：Qf(x)是定义在R上的偶函数，
?不等式f(lnx)?1等价为f(|lnx|)?1，
0时，f(x)?当x…由f(x)?2x?32(x?1)?55??2?，则函数f(x)为增函数， x?1x?1x?12x?3?1，得x?4，即f（4）?1， x?1则不等式f(|lnx|)?1等价为f?|lnx|??f?4?， 则|lnx|?4， 即?4?lnx?4， 即
14?x?e， e4即不等式的解集为??14?,e?， 4e???14?故答案为：?4,e?
?e?点评：
本题主要考查不等式的求解，根据条件判断函数的单调性，利用函数单调性和奇偶性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键，属于中档题．
9．已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2?6，若a1,a3,a7成等比数列，则S8的值为______． 【答案】88
2由题意得a3?a1a7??6?d???6?d??6?5d??6d2?12dQd?0?d?2
2所以a1?6?2?4,S8?8?4?1?8?7?2?88 21x2y22210．若椭圆2?2?1的焦点在x轴上，过点（1，）作圆x+y=1的切线，切点
2ab分别为A,B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是
x2y2【答案】??1
5411)在圆外，过点(1，)与圆相切的一条直线为x＝1，且直线AB恰好经过椭221圆的右焦点和上顶点，∴椭圆的右焦点为(1,0)，即c＝1，设点P(1，)，连接OP，
21则OP⊥AB，∵kOP＝，∴kAB＝－2．又直线AB过点(1,0)，∴直线AB的方程为2x＋y
2∵点(1，
y2x2－2＝0，∵点(0，b)在直线AB上，∴b＝2，又c＝1，∴a＝5，故椭圆方程是＋
452
＝1．
11．已知函数f(x)?mlnx 图像与函数g(x)?2x图像在交点处切线方程相同，则m的值为_________ 【答案】e
设函数f(x)和g(x)的交点为(x0，y0)，求出f(x)和g(x)在(x0，y0)处切线方程的斜率，然后建立关于m的方程，再求出m的值． 解：
解：设函数f(x)和g(x)的交点为(x0，y0)，则 由f(x)?mlnx，得f?(x)?m， xm， x0?f(x)在(x0，y0)处的切线方程的斜率k1?同理，函数g(x)在(x0，y0)处的切线方程的斜率k2?x0x0，
Qf(x)和g(x)在交点处切线方程相同，
?k1?k2，即
xm?0①， x0x0又y0?f(x0)?mlnx0②，y0?g(x0)?2x0③， 由①②③解得，m?e． 故答案为：e． 点评：
本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了方程思想，属于基础题． 12．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：y?mx与曲线f(x)?2x?x从左至右
3uuuvuuuv依次交于A、B、C三点，若直线l2：y?kx?2上存在P满足PA?PC?1，则实
数k的取值范围是_______． 【答案】k??15或k?15
由曲线f?x??2x?x及直线l1：y?mx的图象都关于原点对称，所以B为原点，且
3uuuvuuuvuuuruuuruuur为AC中点，PA?PC?2PB ，因为直线l2：y?kx?2上存在P满足PA?PC?1，211?所以直线上存在点到原点的距离为，得，解得k的取值范围
2k2?12解：
因为曲线f?x??2x?x及直线l1：y?mx的图象都关于原点对称，所以B为原点，
3且B为AC中点，所以PA?PC?2PB ，因为直线l2：y?kx?2上存在P满足
uuuruuuruuuruuuruuuvuuuv211?，PA?PC?1，即2PB?1，所以直线上存在点到原点的距离为，得22k?12解得k??15或k?15 点评：
根据函数性质，数形结合，理解题目问题的几何意义，建立不等关系求解参数的取值范围
13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：直线
，圆C：
，动点P在
上的两点E，F之间，过点P分別作圆O，C的切线，切点为A，B，若
满足PB≥2PA，则线段EF的长度为_______．
【答案】
上，设点
，分别表示
，
，利用PB≥2PA
因为动点P在直线
解出的取值范围，得线段EF的长度 解： 动点P在直线
的切线，切点为A，所以
，即,
点评：
从圆外一定点点引圆的切线，切线段的长利用定点到圆心的距离，半径求解
14．若?ABC中，AB?2,BC?8，?B?45°，D为?ABC所在平面内一点且满足
,线段
上，设点
，圆O：
，同理可得
，解得
，过点P分別作圆O，因为PB≥2PA，得
，所以
uuuvuuuvuuuvuuuv(AB?AD)?(AC?AD)?4，则AD长度的最小值为________
【答案】2 建立如图所示的平面直角坐标系，设D(x,y)，则
uuuvuuuvuuuvAB?(?1,?1),AC?(7,?1),AD?(x,y)，
?x?y?m(x?y)(y?7x)?4求得，令?，解得mn?4，进而利用二次函数的性质，
y?7x?n?求得AD取得最小值2. 解：
建立如图所示的平面直角坐标系，由题意，B(?1,?1),C(7,?1)， 设D(x,y)，所以AB?(?1,?1),AC?(7,?1),AD?(x,y)， 所以(AB?AD)?(AC?AD)?(?x?y)(7x?y)?4，
uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv1?x?(m?n)??x?y?m?8即(x?y)(y?7x)?4，令?，则?，所以mn?4，
1y?7x?n??y?(7m?n)?8?所以AD?x2?y2?11(m?n)2?(7m?n)2?50m2?2n2?12mn 88
?2225m2?n2?24?10mn?24?2， 88当且仅当5m?n??25时，AD取得最小值2.
点评：
本题主要考查了向量的数量积的应用问题，其中建立适当的直角坐标系，利用向量的数量积的运算，得到mn?4，利用表示出AD关于x的二次函数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题有一定的综合性，属于中档试题.
二、解答题
15．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，且BD?AD?a，b，c为A，B，C所对的边，（1）求证：sinC?2sin(A?B)； （2）若cosA?1c． 23，求tanC的值． 5
【答案】（1）见解析（2）?48 111c，由正弦定理，得2（1）由题意可得acosB?bcosA?1sinAcosB?sinBcosA?sinC，即可作出证明；
2（2）由（1）得3cosAsinB?sinAcosB，得到sinA?即可求解tanC的值. 解：
444tanB?，，所以tanA?，
5931c， 21 所以acosB?bcosA?c，
2（1）证明：因为BD?AD? 由正弦定理，得sinAcosB?sinBcosA?1sinC， 2
2020届江苏省南通市高三下学期3月开学考试数学试题解析
