22对于命题①,因为x0?2x0?1??x0?1??0,所以“?x0?R,x0?2x0?1?0”是真命题,
2故其否定是假命题,即①是假命题;
对于命题②,充分性:VABC中,若B?30?,则30??B?180?,由余弦函数的单调性可知,cos180??cosB?cos30?,即?1?cosB?3,3,即充分性成即可得到cosB?223,结合余弦函数的单调性可2立;必要性:VABC中,0??B?180?,若cosB?知,cos180??cosB?cos30?,即30??B?180?,可得到B?30?,即必要性成立.故命题②正确;
对于命题③,将函数y?2cos2x的图象向左平移
?个单位长度,可得到6??π??π??y?2cos?2?x????2cos?2x??的图象,即命题③是假命题．
6??3????故假命题有①③. 故选:C 【点睛】
本题考查了命题真假的判断,考查了余弦函数单调性的应用,考查了三角函数图象的平移变换,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题. 11．已知函数f(x)?2cos??x?围（ ） A．?,2?
3【答案】B 【解析】由?????????(??0)?,?上单调递增，则?的取值范在??3??32??2???B．?0,?
3??2??C．?,1?
?2??3?D．(0,2]
πππππππ?x?,可得?????x????,结合y?cosx在[?π,0]上3233323πππ??π???,???[?π,0],即可求出?的范围. 单调递增,易得??323??3【详解】 由?πππππππ?x?,可得?????x????, 3233323第 6 页 共 18 页
x?0时,f(0)?2cos???π??ππ?0??,?, ,?而??32??3?又y?cosx在[?π,0]上单调递增,且?π?[?π,0], 3π?π?????π?3???23??πππ?2π?π2??π,即???,故0???. 所以????,????[?π,0],则????033323?3?3??2????0???0??故选:B. 【点睛】
本题考查了三角函数的单调性的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题. 12．已知函数f(x)?memx?lnx，当x?0时，f(x)?0恒成立，则m的取值范围为（ ） A．?,??? 【答案】A
【解析】分析可得m?0,显然memx?lnx?0在?0,1?上恒成立,只需讨论x?1时的情况即可,f(x)?0?memx?lnx?mxemx?elnxlnx,然后构造函数
?1?e??B．?,e?
?1?e??C．[1,??) D．(??,e)
g(x)?xex(x?0),结合g(x)的单调性,不等式等价于mx?lnx,进而求得m的取值范
围即可. 【详解】
由题意,若m?0,显然f(x)不是恒大于零,故m?0.
m?0,则memx?lnx?0在?0,1?上恒成立;
当x?1时,f(x)?0等价于memx?lnx, 因为x?1,所以mxemx?elnxlnx.
设g(x)?xe(x?0),由g?(x)?ex(1?x),显然g(x)在(0,??)上单调递增,
x因为mx?0,lnx?0,所以mxemx?elnxlnx等价于g(mx)?g(lnx),即mx?lnx,则
m?lnx. x第 7 页 共 18 页
设h(x)?lnx1?lnx(x?0),则h?(x)?(x?0).
x2x令h?(x)?0,解得x?e,易得h(x)在(0,e)上单调递增,在(e,??)上单调递减, 从而h(x)max?h(e)?故选:A. 【点睛】
本题考查了不等式恒成立问题,利用函数单调性是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题.
二、填空题
11，故m?. ee?3x?y?2?0?13．若实数x，y满足约束条件?x?y?2?0，则z?x?2y的最大值为________.
?x?4y?4?0?【答案】3
【解析】作出可行域,可得当直线z?x?2y经过点A(1,1)时,z取得最大值,求解即可. 【详解】
?3x?y?2?0,可求得点A?1,1?, 作出可行域（如下图阴影部分）,联立?x?y?2?0?当直线z?x?2y经过点A(1,1)时,zmax?1?2?1?3. 故答案为:3.
【点睛】
本题考查线性规划,考查数形结合的数学思想,属于基础题.
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ax214．若函数f(x)?x?x为奇函数，则a?_______.
2?12【答案】-2
【解析】由f(x)是定义在R上的奇函数,可知对任意的x,f(?x)??f(x)都成立,代入函数式可求得a的值. 【详解】
ax2a???x2?1?x由题意,f(x)的定义域为R,f(x)?x?x?, 2?12?1??2f(x)是奇函数,则f(?x)??f(x),即对任意的
a?a?2?2?x,??x??1??x??x1????都成立, x?2?1??2?1?故1?aa????1???,整理得a?2?0,解得a??2. x2?x?12?1??故答案为:?2. 【点睛】
本题考查奇函数性质的应用,考查学生的计算求解能力,属于基础题. 15．记等差数列?an?和?bn?的前n项和分别为Sn和Tn，若
Sn3n?5?，则Tnn?7a7?______. b7【答案】
11 513?a1?a13?a713a7S132n???,,求解即可. 【解析】结合等差数列的前项和公式可得
b713b713?b1?b13?T132【详解】 由题意,S13?13?a1?a13?2?13a7,T13?13?b1?b13?2?13b7,
a713a7S133?13?511Sn3n?5?????. ,所以因为Tnn?7b713b7T1313?75故答案为:
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【点睛】
本题考查了等差数列的前n项和公式及等差中项的应用,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.
16．在平面五边形ABCDE中，?A?60?，AB?AE?63，BC?CD，且
BC?DE?6.将五边形ABCDE沿对角线BE折起，使平面ABE与平面BCDE所成的
二面角为120?，则沿对角线BE折起后所得几何体的外接球的表面积是______. 【答案】252?
【解析】设?ABE的中心为O1，矩形BCDE的中心为O2，过O1作垂直于平面ABE的直线l1，过O2作垂直于平面BCDE的直线l2，得到直线l1与l2的交点O为几何体
ABCDE外接球的球心，结合三角形的性质，求得球的半径，利用表面积公式，即可求解. 【详解】
设?ABE的中心为O1，矩形BCDE的中心为O2，
过O1作垂直于平面ABE的直线l1，过O2作垂直于平面BCDE的直线l2， 则由球的性质可知，直线l1与l2的交点O为几何体ABCDE外接球的球心， 取BE的中点F，连接O1F，O2F，
由条件得O1F?O2F?3，?O1FO2?120?，连接OF， 因为?OFO1??OFO2，从而OO1?33， 连接OA，则OA为所得几何体外接球的半径，
222 在直角?AOO1中，由O1A?6，可得OA?OO1?O1A?27?36?63，OO1?33，
即外接球的半径为R?OA?63，
故所得几何体外接球的表面积为S?4?R2?252?. 故答案为：252?.
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2024届甘肃省白银市靖远县高三第一次联考数学(理)试题(解析版)
