函数与导数相结合压轴题精选（二）
11、已知f(x)?ax3?bx2?cx?d(a?0)为连续、可导函数，如果f(x) 既有极大值M，又有极小值N，求证：M?N.
证明：由题设有f?(x)?3ax2?2bx?c?3a(x?x1)(x?x2),不仿设x1?x2，
则由a?0知:当x?(??,x1)时f?(x)?0,当x?(x1,x2)时f?(x)?0,当x?(x2,??)时
f?(x)?0,故f(x)在x1处取极大值，在x2处取极小值，
332?f(x1)?f(x2)?a(x1?x2)?b(x12?x2)?c(x1?x2)
?(x1?x2)[a(x1?x2)2?ax1x2?b(x1?x2)?c]
?(x1?x2)[a?(??(x1?x2)[?22bc?2b)2?a??b??c]3a3a3a22(b?3ac)]9a
由方程3ax?2bx?c?0有两个相异根，有??(2b)2?12ac?4(b2?3ac)?0, 又x1?x2?0,a?0,?f(x1)?f(x2)?0,即f(x1)?f(x2)，得证. 12、已知函数f(x)??x3?ax在（0，1）上是增函数. （1）求实数a的取值集合A；
（2）当a取A中最小值时，定义数列{an}满足：2an?1?f(an)，且a1?b(0,1)(b为常
数），试比较an?1与an的大小；
（3）在（2）的条件下，问是否存在正实数C，使0?an?c?2对一切n?N恒成立？
an?c2（1）设0?x1?x2?1,则f(x1)?f(x2)?(x2?x1)(x1?x1x2?x2?a)
由题意知：f(x1)?f(x2)?0，且x2?x1?0
22?x12?x1x2?x2?a,则x12?x1x2?x2?(0,3)
2?a?3,即A?{a|a?3} （4分）
2（注：法2：f?(x)??3x?a?0,对x?(0,1)恒成立，求出a?3）.
（2）当a=3时，由题意：an?1??133an?an,且a1?b?(0,1) 22以下用数学归纳法证明：an?(0,1),对n?N?恒成立. ①当n=1时，a1?b?(0,1)成立；
②假设n=k时，ak?(0,1)成立，那么当n?k?1时，
1331ak?1??ak?ak，由①知g(x)?(?x3?3x)
222在（0，1）上单调递增，?g(0)?g(ak)?g(1)?即0?ak?1?1，
由①②知对一切n?N都有an?(0,1) （7分） 而an?1?an??13112an?an?an(1?an)?0 ?an?1?an （9分） 222（3）若存在正实数c，使0?an?c?2恒成立 （10分
an?c令y?x?c2c?1?,在(c,??)上是减函数， x?cx?c?an?c随着an增大，而小， an?can?c?2恒成立，
an?c又{an}为递增数列，所以要使0??a1?c?0?只须?a1?c?a?c?2?113、已知f(x)??0?c?a1b,即0?c? （14分） 332x?a(x?R)在区间[－1，1]上是增函数. 2x?21的两根为x1、x2，试问：是否存在实数m，使得不等式 x （1）求实数a的值所组成的集合A. （2）设关于x的方程f(x)?m2?tm?1?|x1?x2|对任意a?A及t?[?1,1]恒成立？若存在，求出m的取值
范围；若不存在，请说明理由
?2(x2?ax?2)（1）f?(x)? 22(x?2)?f(x)在[?1,1]是是增函数 ?f?(x)?0对,x?[?1,1]恒成立.
设?(x)?x?ax?2,则有?2??(1)?0??1?a?1
??(?1)?0?对x?[?1,1],f(x)是连续函数，且只有当a?1时,f?(?1)?0，
以及当a??1时,f?(1)?0,?A?{a|?1?a?1} （2）由
2x?a12?,得x?ax?2?0 2x?2x???a2?8?0,?x1,x2是方程x2?ax?2?0的两实根.
?x1?x2?a22 从而|x1?x2|?(x1?x2)?4x1x2?a?8 ???x1x2??2??1?a?1?|x1?x2|?a2?8?3
要使不等式m2?tm?1?|x1?x2|对任意a?A及t?[?1,1]恒成立， 当且仅当m2?tm?1?3对任意t?[?1,1]恒成立， 即m?tm?2?0对任意t?[?1,1]恒成立. 设g(t)?m2?tm?2?mt?m2?2
2??g(?1)?m?m?2?0则有?2??g(1)?m?m?2?02?m?2或m??2
?存在m，其范围为{m|m?2或m??2}
14、已知二次函数y=g(x)的图象过原点和点（m，0）与点（m+1, m+1），
（1）求y=g(x)的表达式；
（2）设f(x)=(x－n)g(x)(m>n>0)且f(x)在x=a和x=b(b ②若m+n=22，则过原点且与曲线y=f(x)相切的两条直线能否互相垂直？若能，则给出证明；若不能，请说明理由？ （文科生做）设常数a>0, a≠1，函数f(x)?loga．．．． x?5， x?5 （1）讨论f(x)在区间（－∞，－5）上的单调性，并予以证明； （2）设g(x)=1+loga(x－3),如果f(x)=g(x)有实数根，求a的取值范围. （理科生做）解：（1）设g(x)=ax2+bx+c(a≠0)，由题意得 ．．．．
高考数学函数与导数相结合压轴题精选(含具体解答)
