具有合约决策的二层报童问题模型研究
万仲平1，侯阔林1，2，程露1
(1武汉大学数学与统计学院，湖北，武汉，430072；2清晨职业大学公共教学部，福建，泉州，
362000)
摘要：本文研究了以供应商为领导层、零售商为从属层的合约决策下报童问题的二层规划模型，并讨论了它在合约谈判中的作用。考虑到顾客需求和市场价格具有高度的不确定性，供应商和零售商为了回避风险而达到最大的期望利润，双方通常能够采纳签订合约的方式来进行交易。为此，我们建立了一个合约决策条件下报童问题的二层规划模型并运罢了数值结果。供应商和零售商能够依据该模型的最优解通过谈判确定合约决策变量值以猎取较高的期望利润。 关键词：报童问题，二层规划，合约谈判，不确定性 中国分类号：C931.1, O221.2, O227.
0引言
报童问题即单周期库存问题(Single-Period Problem), 是供应链治理中最重要的模型之一，其历史能够追溯到1888年闻名经济学家Edgeworth应用它解决银行的现金流(cash-flow)问题，1955年，Whitin首次建立了受价格阻碍的报童问题模型〔详见Petruzzi等[1]〕。目前, 报童问题在生产、服务、治理和金融等领域成功地取得了广泛的应用。有关报童问题及其扩展问题的研究见Silver [2] 和Khouja [3]给出的综述报告。
与众多扩展模型相比, 经典报童问题模型是最简单最差不多的问题, 它能够描述为：报童每天早晨以单位批发价p从报社买进报纸，然后以单位零售价a出售，晚上将没有卖掉的报纸当作废品以价格v〔v?p?a〕处理掉。同时假设：〔1〕报童拥有购买足够多报纸的资金；〔2〕报纸过剩只能以低于零售价的价格v处理；〔3〕报纸供应不足，会遭受缺货惩处。报童应该如何确定订购量而获得最高的利润呢？明显，报童应该依照市场需求量来确定订购量，而市场需求量是随机的。假设报童通过体会差不多把握了市场需求量的随机规律，我们就能够建立优化模型来求解报童问题了。
由于市场价格和顾客需求具有高度的不确定性，供应商和零售商〔即报童〕面临来自于市场价格和顾客需求两方面的风险。而合约能够为零售商提供购买量和价格的双重爱护，同时供应商
也有了最低利益保证。因此，在供应链治理领域, 合约问题得到了广泛的关注和研究。然而, 目前对合约报童问题的研究差不多上将合约订购量(或合约价格)作为和谐参数考虑的，这是一种带有决策者的主观意识的决策，并不能真正反映客观实际中的一些问题,可能会使供应商与零售商遭受一定的缺失。为此我们将合约订购量、合约价格等作为决策变量，依照市场需求量情形，供应商既考虑市场价格也要对合约价格作出决策，同时，零售商决策市场订购量与合约订购量。由此，基于二层规划模型的思想，我们将建立具有合约决策的二层报童问题模型。数值结果说明，该问题的研究既能够为供应商和零售商提供谈判的依据也有助于提高供应链渠道〔channel〕的利润。
1 经典报童问题
经典报童问题研究在概率需求下零售商的决策问题，零售商查找产品的最优订购量以猎取最大的期望利润。
经典报童问题中,零售商的利润函数为：
????(a?p)q?s(x?q), if x?q 〔1〕
?ax?v(q?x)?pq, if x?q.其中随机变量x是市场需求量， a是单位产品的零售价格，p是单位产品的批发价格，q是订购量，s是单位产品的缺货惩处，v是单位产品的处理价格。由因此x随机变量，零售商的期望利润为：
??qqE(?)?(a?s?p)?qf(x)dx?s?xf(x)dx?(a?v)?xf(x)dx?(p?v)?qf(x)dx. 〔2〕
qq00其中f(x)是市场需求量x的概率密度函数，F(x)是市场需求量x的分布函数，记E?E(?)。设最优订购量是q*，容易证明E(?)是凹函数，再由一阶最优性条件
?E?0能够得到: *?qF(q*)?a?s?p. 〔3〕
a?s?v上式被称为临界分位点公式, 我们能够通过它求出最优解。
2二层报童问题
目前在一些行业〔如电力〕中，市场的猛烈竞争使得市场格局发生了专门大的变化, 供应商与零售商之间既有合作又有竞争，不能再作为一个垂直统一的经济个体去研究。而经典报童问题没有考虑供应商与零售商决策之间的相互阻碍，因此，有必要对供应商与零售商之间的层次递阶关
系及其决策的相互阻碍加以研究。二层报童问题是二层规划在报童问题中的应用，二层规划是一种具有二层递阶结构的系统优化问题。上下层决策者在约束条件下各自优化其目标函数，上层的决策阻碍下层，但不能操纵下层；下层通过其最优解(或目标最优值)反馈给上层而阻碍上层的决策。Dempe[4]、Colson等[5]和王广民等[6]综述了二层规划问题的理论、方法和应用。
二层报童问题的研究差不多有20余年的历史， 1985年，Pasternack[7]首次提出了具有二层结构的报童问题来研究供应商与零售商利益关系，Iyer和Bergen[8]，Emmons和Gilbert[9]分别考虑了以供应商为领导层，零售商为从属层，目标函数是各自的期望利润的二层报童问题。他们考虑的差不多上一个供应商和一个零售商的情形，Yang等[10]考虑了一个供应商和两个零售商情形下的二层报童问题，分析了零售商之间的一些竞争行为。Lau 等[11]研究了不对称市场信息对供应商和零售商的阻碍，随后研究了需求为随机变量时多零售商的二层报童问题模型〔见文[12]〕， 后来他们研究了随机不对称信息对供应商和零售商的阻碍(见文[13])。最近，Ji和Shao[14]针对需求是模糊变量时的报童问题，建立了相应的二层报童问题模型.
这些成功的应用使得报童问题得到了更多的关注，二层报童问题在建立模型和应用过程中也显现了许多尚待研究的问题，因此报童问题的研究不仅具有理论意义而且还具有重要的有用价值，是一项具有进展前途的研究课题，需要我们更加深入地去研究和总结。文[14]还分析了供应商不同的批量折扣策略以及零售商相应的最优策略，零售商的订购量达到一定的数量后能够享受优待价格，从而零售商能够用更低的批发价格购买产品，供应商的产品销售量也增加了。可见，折扣措施使交易双方受益，合约也有如此的作用，下面将研究需求是随机变量时合约决策下的二层报童问题。
3合约决策条件下的二层报童问题
现货价格受需求的阻碍具有高度的不确定性，供应商和零售商面临顾客需求量和市场价格两方面的风险。合约规定了产品的单价、购买数量、违约惩处、交易时刻和交易地点等，能够为零售商提供订购量与价格的双重爱护，而作为拥有合约价格决策权的供应商也有了最低利益保证。万仲平等[15,16]研究了合约决策在电力市场中的应用，首次提出了一个用于合约交易竞价策略的随机二层规划模型。李善良和朱道立[17]利用托付——代理理论考虑了两类不对称信息——逆向信息和道德风险并存下的供应链线性合约。Sethi, Yan和Zhang[18]研究了供应链治理和库存论中的合约问题，对数量柔性合约问题利用二时期规划的思想作了一定的描述。在一个交易周期内，数量柔性合约(quantity-flexibility contracts)承诺零售商在两个时期订购产品。第一个时期发生在销售季节开始之前的一段时期，我们称之为交货期〔lead time〕，供应商与零售商签定合约价格为p订购量
具有合约决策的二层报童问题模型研究
