函数一章基础知识 一、映射与函数:
(1)映射的概念: (2)一一映射:(3)函数的概念:
如:若
A?{1,2,3,4},B?{a,b,c};问:A到B的映射有 个,B到A的映射有 个;A到B的函数有 个,若A?{1,2,3},则函数
A到B的一一映射有 个。
y??(x)的图象与直线x?a交点的个数为 个。
二、函数的三要素: , , 。
相同函数的判断方法:① ;② (两点必须同时具备) (1)函数解析式的求法:
①定义法(拼凑):②换元法:③待定系数法:④赋值法:
(2)函数定义域的求法: ①
y?f(x)*,则 ; ②y?2nf(x)(n?N)则 ; g(x)③
y?[f(x)]0,则 ; ④如:y?logf(x)g(x),则 ;
⑤含参问题的定义域要分类讨论; 如:已知函数
y?f(x)的定义域是[0,1],求?(x)?f(x?a)?f(x?a)的定义域。
⑥对于实际问题,在求出函数解析式后;必须求出其定义域,此时的定义域要根据实际意义来确定。如:已知扇形的周长为20,半径为r,扇形面积为S,则S(3)函数值域的求法:
①配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化为型如:f的形式;
②逆求法(反求法):通过反解,用用来解,型如:
?f(r)? ;定义域为 。
(x)?ax2?bx?c,x?(m,n)y来表示x,再由x的取值范围,通过解不等式,得出y的取值范围;常
y?ax?b,x?(m,n);
cx?d④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想;
⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域; ⑥基本不等式法:转化成型如:
y?x?k(k?0),利用平均值不等式公式来求值域; x⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域。 求下列函数的值域:①
y?a?bx(a?0,b?0,a?b,x?[?1,1])(2种方法);
a?bxx2?x?3x2?x?3,x?(??,0)(2种方法),x?(??,0)(2种方法)②y?;③y?;
xx?1三、函数的性质:
函数的单调性、奇偶性、周期性
单调性:定义:注意定义是相对与某个具体的区间而言。
判定方法有:定义法(作差比较和作商比较)
导数法(适用于多项式函数) 复合函数法和图像法。
应用:比较大小,证明不等式,解不等式。
奇偶性:定义:注意区间是否关于原点对称,比较f(x) 与f(-x)的关系。f(x) -f(-x)=0? f(x) =f(-x)
?f(x)为偶函数;
f(x)+f(-x)=0? f(x) =-f(-x) ?f(x)为奇函数。
判别方法:定义法, 图像法 ,复合函数法 应用:把函数值进行转化求解。
周期性:定义:若函数f(x)对定义域内的任意x满足:f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。
其他:若函数f(x)对定义域内的任意x满足:f(x+a)=f(x-a),则2a为函数f(x)的周期. 应用:求函数值和某个区间上的函数解析式。
四、图形变换:函数图像变换:(重点)要求掌握常见基本函数的图像,掌握函数图像变换的一般规律。 常见图像变化规律:(注意平移变化能够用向量的语言解释,和按向量平移联系起来思考) 平移变换 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b
注意:(ⅰ)有系数,要先提取系数。如:把函数y=f(2x)经过 平移得到函数y=f(2x+4)的图象。
(ⅱ)会结合向量的平移,理解按照向量a(m,n)平移的意义。 对称变换 y=f(x)→y=f(-x),关于y轴对称 y=f(x)→y=-f(x) ,关于x轴对称
y=f(x)→y=f|x|,把x轴上方的图象保留,x轴下方的图象关于x轴对称
y=f(x)→y=|f(x)|把y轴右边的图象保留,然后将y轴右边部分关于y轴对称。(注意:它是一个偶函数) 伸缩变换:y=f(x)→y=f(ωx),
y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象变换。
一个重要结论:若f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称;
如:
y?f(x)的图象如图,作出下列函数图象:
(2)y??f(x); y?f(?x);
(1)(3)(5)(7)
y y=f(x) (4)y?|f(x)|; y?f(|x|);
(6)y?f(x?1); y?f(2x);
O (2,0) (0,-1) x y?f(x)?1;(8)y??f(?x); y?f?1(9)
(x)。
五、反函数: (1)定义:
(2)函数存在反函数的条件: ;
(3)互为反函数的定义域与值域的关系: ; (4)求反函数的步骤:①将
y?f(x)看成关于x的方程,解出x?f?1(y),若有两解,要注意解的选择;
②将x,y互换,得y?f?1(x);③写出反函数的定义域(即y?f(x)的值域)。
(5)互为反函数的图象间的关系: ; (6)原函数与反函数具有相同的单调性;
(7)原函数为奇函数,则其反函数仍为奇函数;原函数为偶函数,它一定不存在反函数。
2xx如:求下列函数的反函数:f(x)?x?2x?3(x?0);f(x)?;f(x)?log?2(x?0) 2x2?1x?12七、常用的初等函数: (1)一元一次函数:(2)一元二次函数: 一般式:两点式:
y?ax?b(a?0),当a?0时,是增函数;当a?0时,是减函数;
y?ax2?bx?c(a?0);对称轴方程是 ;顶点为 ;
y?a(x?x1)(x?x2);对称轴方程是 ;与x轴的交点为 ; y?a(x?k)2?h;对称轴方程是 ;顶点为 ;
顶点式:
①一元二次函数的单调性: 当a?0时: 为增函数; 为减函数;当a?0时: 为增函数; 为减函数;
y?a(x?k)2?h的形式,
②二次函数求最值问题:首先要采用配方法,化为Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上,则
a?0时:在顶点处取得最小值,最大值在距离对称轴较远的端点处取得;
a?0时:在顶点处取得最大值,最小值在距离对称轴较远的端点处取得;
Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上,则
a?0时:最小值在距离对称轴较近的端点处取得,最大值在距离对称轴较远的端点处取得; a?0时:最大值在距离对称轴较近的端点处取得,最小值在距离对称轴较远的端点处取得;
有三个类型题型:
(1)顶点固定,区间也固定。如:
y?x2?x?1,x?[?1,1]
(2)顶点含参数(即顶点变动),区间固定,这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内,何时在区间之外。 (3)顶点固定,区间变动,这时要讨论区间中的参数.③二次方程实数根的分布问题: 设实系数一元二次方程
根的情况 y?x2?x?1,x?[a,a?1]
f(x)?ax2?bx?c?0的两根为x1,x2;则:
x1?x2?k 在区间(k,??)上有两根 x1?x2?k 在区间(??,k)上有两根 x1?k?x2 在区间(k,??)或(??,k)上有一根 等价命题 充要条件 注意:若在闭区间[m,n]讨论方程
情况,得出结果,在令xf(x)?0有实数解的情况,可先利用在开区间(m,n)上实根分布的
?n和x?m检查端点的情况。
ac(3)反比例函数:y?(x?0)?y?a?
xx?b(4)指数函数:
y?ax(a?0,a?1)
指数运算法则: ; ; 。
指数函数:y=a (a>o,a≠1),图象恒过点(0,1),单调性与a的值有关,在解题中,往往要对a分a>1和0 xy?logax(a?0,a?1) 指数运算法则: ; ; ; 对数函数:y=logax (a>o,a≠1) 图象恒过点(1,0),单调性与a的值有关,在解题中,往往要对a分a>1
函数基础知识及注意点
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