课时分层作业(十四) 平面与平面垂直的判定
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有( ) A．0个 C．无数个
B．1个 D．1个或无数个
D [当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个．] 2．下列不能确定两个平面垂直的是( ) A．两个平面相交，所成二面角是直二面角 B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线 C．一个平面经过另一个平面的一条垂线 D．平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b
D [如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC，但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直．]
3．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝
AC，则二面角P-BC-A的大小为( )
A．60° C．45°
B．30° D．15°
C [由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝C，
∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P-BC-A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故选C.]
4．如图所示，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则图中互相垂直的平面共有( )
A．1对 C．3对
B．2对 D．4对
C [因为AB⊥平面BCD，且AB?平面ABC和AB?平面ABD，所以平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD．因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD．又因为BC⊥CD，AB∩BC＝B，所以CD⊥平面ABC. 因为CD?平面ACD，所以平面ABC⊥平面ACD．故图中互相垂直的平面有平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面ACD.]
1
5．在正三角形 ABC 中，AD⊥BC 于点 D，沿 AD 折成二面角B-AD-C后，BC＝AB，这时
2二面角B-AD-C的大小为( )
A．60° B．90° C．45° D．120°
1
A [∠BDC为二面角B-AD-C的平面角，设正三角形ABC的边长为m，则折叠后，BC＝m，
2
BD＝DC＝m，所以∠BDC＝60°.]
二、填空题
6．已知α，β是两个不同的平面，l是平面α与β之外的直线，给出下列三个论断：①l⊥α，②l∥β，③α⊥β.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________．(用序号表示)
①②?③ [由l∥β可在平面β内作l′∥l，又l⊥α，∴l′⊥α，∵l′?β，∴α⊥β，故①②?③.]
7．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜线BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则BC＝________．
12
1 [因为AD⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD， 所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角， 因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°. 在△BCD中∠BDC＝90°又AB＝AC＝1，所以BD＝CD＝
222，所以BC＝BD＋CD＝1.] 2
8．如图所示，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是利用了________．
平面与平面垂直的判定定理 [如图所示，因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB?β，OC?β，且
OB∩OC＝O，根据线面垂直的判定定理，可得OA⊥β，又OA?α，根据面面垂直的判定定理，
可得α⊥β.]
三、解答题
9．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD.
求证：平面PDC⊥平面PAD.
[证明] 因为PA⊥平面AC，CD?平面AC， 所以PA⊥CD.
因为CD⊥AD，PA∩AD＝A， 所以CD⊥平面PAD. 因为CD?平面PDC， 所以平面PDC⊥平面PAD.
10．如图所示，平面角为锐角的二面角α-EF-β，A∈EF，AG?α，∠GAE ＝ 45°，若
AG与β所成角为30°，求二面角α-EF-β的大小．
[解] 作GH⊥β于H，作HB⊥EF于B，连接GB，
则GB⊥EF，∠GBH是二面角α-EF-β的平面角． 又∠GAH是AG与β所成的角， 设AG＝a，则GB＝sin∠GBH＝＝21a，GH＝a， 22
GHGB2. 2
所以∠GBH ＝ 45°，二面角α-EF-β的大小为45°.
[能力提升练]
1．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为( )
A．相等 C．相等或互补 D [反例：如图，
B．互补 D．不确定
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是CD，C1D1的中点，二面角D-AA1-E与二面角B1-AB-D的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补，故选D.]
2．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在AD和BC上，且
EF∥AB，若二面角C1-EF-C等于45°，则BF＝________．
1 [由题意知EF⊥BC. ∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥EF，又BC∩CC1＝C，∴EF⊥平面CC1F，∴EF⊥C1F. 故∠C1FC为二面角C1-EF-C的平面角，即∠C1FC＝45°，∵AA1＝1，∴CF＝1，又
BC＝2，∴BF＝1.]
2019-2020学年高中数学 课时分层作业14 平面与平面垂直的判定（含解析）新人教A版必修2
