【考点】ME：切线的判定与性质；KH：等腰三角形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质，证明OC⊥AB即可； （2）证明OC∥EG，推出△GOC∽△GEF即可解决问题；
（3）设OC=OD=r，在Rt△BOC中，根据OB2=OC2+BC2，列出方程即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵OA=OB，AC=BC， ∴OC⊥AB，
∴⊙O是AB的切线．
（2）证明：∵OA=OB，AC=BC， ∴∠AOC=∠BOC， ∵OE=OF， ∴∠OFE=∠OEF， ∵∠AOB=∠OFE+∠OEF， ∴∠AOC=∠OEF， ∴OC∥EF， ∴△GOC∽△GEF， ∴
=
，∵OD=OC，
∴OD?EG=OG?EF．
（3）解：设OC=OD=r，
在Rt△BOC中，∵OB2=OC2+BC2， ∴（r+2）2=r2+42， ∴r=3，
∴⊙O的半径为3．
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23．已知抛物线y=ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，抛物线的对称轴上有一点P，且点P在x轴下方，线段PB绕点P顺时针旋转90°，点B的对应点B′恰好落在抛物线上，求点P的坐标． （3）如图②，直线y=
x+
交抛物线于A、E两点，点D为线段AE上一点，
连接BD，有一动点Q从B点出发，沿线段BD以每秒1个单位的速度运动到D，再沿DE以每秒2个单位的速度运动到E，问：是否存在点D，使点Q从点B到E的运动时间最少？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可得到关于a、b的方程组，从而可求得a、b的值；
（2）先求得抛物线的对称轴为x=1．过点B′作B′M⊥对称轴，垂足为M．然后证明△BNP≌△PMB，依据全等三角形的性质可知BN=PM=3，PN=MB′．设P（1，m），则点B′的坐标为（1﹣m，m﹣2），最后将点B′的坐标代入抛物线的解析式求解即可；
（3）过点E作EF∥x轴，作点DF∥y轴，则∠EFD=90°．先求得点G的坐标，则可得到OG=
，在Rt△AGO中，利用特殊锐角三角函数值可求得∠A的度数，
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则∠FED=30°，依据函数30°直角三角形的性质可得到DF=DE．则动点Q沿DE以每秒2个单位的速度运动到E与它一每秒1个单位的速度运动东F所用时间相等．故此当BD+DF最短时，所用时间最短，依据两点之间线段最短可知当B，D，F在一条直线上时，所用时间最短，此时BE⊥BF，则点D的横坐标为3，然后由函数解析式再求得点D的纵坐标即可．
【解答】解：（1）将点A和点B的坐标代入得：解得：a=1，b=﹣2．
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3． （2）∵A（﹣1，0），B（3，0）， ∴抛物线的对称轴为x=1．
如图所示：过点B′作B′M⊥对称轴，垂足为M．
，
∵∠BPB′=90°， ∴∠BPN+∠B′PM=90°． ∵∠BPN+∠PBN=90°， ∴∠PNB=∠B′PM． 在△BPN和△PB′M中∴△BNP≌△PMB． ∴BN=PM=3，PN=MB′．
设P（1，m），则点B′的坐标为（1﹣m，m﹣2）． 将点B′的坐标代入抛物线的解析式得：
（1﹣m）2﹣2（1﹣m）﹣3=m﹣2，解得：m1=﹣1，m2=2． ∵点P在x轴的下方，
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．
∴m=﹣1． ∴P（1，﹣1）． （3）存在．
如图所示：过点E作EF∥x轴，作点DF∥y轴，则∠EFD=90°．
将x=0代入直线AE的解析式得y=∴OG=
．
．
，
∴tan∠GAO=
∴∠FEA=∠GAO=30°． ∴DF=DE．
∴动点Q沿DE以每秒2个单位的速度运动到E与它一每秒1个单位的速度运动东F所用时间相等．
∴当BD+DF最短时，所用时间最短．
∴当B，D，F在一条直线上时，所用时间最短． ∴点D的横坐标为3．
将x=3代入直线AE的解析式得：y=∴D（3，
．
）．
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2017年广东省深圳市福田区中考数学一模试卷（解析版）
