函 数
1.映射f: A?B的概念。在理解映射概念时要注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如点(a,b)在映射f的作用下的象是(a?b,a?b)，则在f作用下点(3,1)的原象为点________（答：（2，－1））；
2.函数f: A?B是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个
3. 求函数定义域的常用方法（研究函数问题时要树立定义域优先的原则）： （1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数logax中x?0,a?0且a?1等。
如（1）函数y?（2）若函数y?x?4?x?lg?x?3?2的定义域是____((0,2)(2,3)(3,4))；
kx?7?3?0,?)； 的定义域为R，则_______( k??kx2?4kx?3?4?（3）函数f(x)的定义域是[a,b]，b??a?0，则函数F(x)?f(x)?f(?x)的
定义域是__________(答：[a,?a])； （4）设函数f(x)?lg(ax2?2x?1)，①若f(x)的定义域是R，求实数a的取值范围；②若f(x)的值域是R，求实数a的取值范围（答：①a?1；②0?a?1）
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。
（3）复合函数的定义域：若已知f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a?g(x)?b解出即可；若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求
相当于当x?[a,b]时，求g(x)的值域（即f(x)的定义域）。如（1）f(x)的定义域，
?1?若函数y?f(x)的定义域为?,2?，则f(log2x)的定义域为__________（答：
?2?2?x?4）；（2）若函数f(x2?1)的定义域为[?2,1)，则函数f(x)的定义域为________（答：[1,5]）．
4.求函数值域（最值）的方法：
（1）配方法――二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[m,n]上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），
如（1）求函数y?x2?2x?5,x?[?1,2]的值域（答：[4,8]）；
?x|?（2）当x?(0,2]时，函数f(x)?ax2?4(a?1)x?3在x?2时取得最大值，
1则a的取值范围是___（答：a??）；
2（2）换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如y?2x?1?x?1的值域为_____（答：(3,??)）（令x?1?t，t?0。运用换元法时，要特别要注
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意新元t的范围）；
（3）函数有界性法――直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，如求函数
3x2sin??11，y?的值域（答： （0,1））； y?(??,]、
1?3x1?sin?2（4）单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函
180数的单调性，如求y?x?(1?x?9)的值域为______（(0,)）；
x9（5）数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等
y如（1）已知点P(x,y)在圆x2?y2?1上，求及y?2x的取值范围（答：
x?233[?,]、[?5,5]） 33（6）判别式法――对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用基本不等式：
b33①y?型，可直接用不等式性质，如求的值域（答： y?(0,]）
k?x22?x22bxx②y?2型，先化简，再用基本不等式，如（1）求y?的值2x?mx?n1?xx?211域（答：(??,]）；（2）求函数y?的值域（答：[0,]）
x?322x2?m?x?n?x2?x?1③y?型，可用判别式法或均值不等式法，如求y?的
mx?nx?1值域（答：(??,?3][1,??)）
（7）不等式法――利用基本不等式a?b?2ab(a,b?R?)求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。如设x,a1,a2,y成等差数列，x,b1,b2,y成
(a1?a2)2等比数列，则的取值范围是____________.（答：(??,0][4,??)）。
b1b2（8）导数法――一般适用于高次多项式函数，如求函数f(x)?2x3?4x2?40x，x?[?3,3]的最小值。（答：－48）
提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？（2）函数的最值与值域之间有何关系？
6.分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值f(x0)时，一定首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。如已知
(x?0)?1 3，则不等式x?(x?2)f(x?2)?5的解集是___（答：(??,]） f(x)??2(x?0)??1 7.求函数解析式的常用方法：
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（1）待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：f(x)?ax2?bx?c；顶点式：f(x)?a(x?m)2?n；零点式：f(x)?a(x?x1)(x?x2)，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。如已知f(x)为二次函数，且 f(x?2)?f(?x?2)，且f(0)=1,图象在x
1轴上截得的线段长为22,求f(x)的解析式 。（答：f(x)?x2?2x?1）
2（2）代换（配凑）法――已知形如f(g(x))的表达式，求f(x)的表达式。
11如（1）若f(x?)?x2?2，则函数f(x?1)=_____（答：x2?2x?3）；（2）若
xx函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x?(0,??)时，f(x)?x(1?3x)，那么当
x?(??,0)时，f(x)=________（答：x(1?3x)）.
（3）方程的思想――已知条件是含有f(x)及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于f(x)及另外一个函数的方程组。
2如（1）已知f(x)?2f(?x)?3x?2，求f(x)的解析式（答：f(x)??3x?）；
3x1（2）已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)= ,则f(x)= 2
x?1x?1
8.函数的奇偶性。
（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如若函数f(x)?2sin(3x??)，x?[2??5?,3?]为奇函数，其中??(0,2?)，则???的值是 （答：0）；
（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：
|x?4|?4①定义法：如判断函数y?的奇偶性____（答：奇函数）。
29?xf(?x)??（1f(x)?0）②利用函数奇偶性定义的等价形式：f(x)?f(?x)?0或。f(x)11如判断f(x)?x(x?)的奇偶性___.（答：偶函数）
2?12③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称。 （3）函数奇偶性的性质：
①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.
②若f(x)为偶函数，则f(?x)?f(x)?f(|x|).如若定义在R上的偶函数
1f(x)在(??,0)上是减函数，且f()=2，则不等式f(log1x)?2的解集为______.
38（答：(0,0.5)(2,??)）
③若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)?0.故f(0)?0是f(x)为奇函数的
a·2x?a?2既不充分也不必要条件。如若f(x)?为奇函数，则实数a＝_1___. x2?1④定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与
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一个偶函数的和（或差）”。如设f(x)是定义域为R的任一函数，
f(x)?f(?x)f(x)?f(?x)，G(x)?。①判断F(x)与G(x)的奇偶性； ②若F(x)?22x将函数f(x)?e，表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，则g(x)＝____
ex?e?x（答：①F(x)为偶函数，G(x)为奇函数；②g(x)＝）
29.函数的单调性。
（1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法： ①在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号）、导数法（在区间(a,b)内，若总有f?(x)?0，则f(x)为增函数；反之，若f(x)在区间(a,b)内为增函数，则f?(x)?0，请注意两者的区别所在。如已知函数f(x)?x3?ax在区间[1,??)上是增函数，则a的取值范围是____(答：(0,3]）)；
②在填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意
by?ax?(a?0b?0)型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为
xbbbb(??,?],[,??)，减区间为[?,0),(0,].
aaaa如若函数f(x)?x2?2(a?1)x?2 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数a的取值范围是______(答：a??3）)；
③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，如函数y?log1?x2?2x的单调递增区间是________(答：（1,2）)。
??2（2）特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如若函数
af(x)?loga(x2?ax?3)在区间(??,]上为减函数，求a的取值范围（答：
2(1,23)）；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示．
（3）你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.
如已知奇函数f(x)是定义在(?2,2)上的减函数,若f(m?1)?f(2m?1)?0，
12求实数m的取值范围。（答：??m?）
2310. 常见的图象变换
①函数y?f?x?a?(a?0)的图象是把函数y?f?x?的图象沿x轴向左平移a个单位得到的。
②函数y?f?x?a?((a?0)的图象是把函数y?f?x?的图象沿x轴向右平移a个单位得到的。如（1）若f(x?199)?4x2?4x?3，则函数f(x)的最小值为____(答：2)；(2)如若函数y?f(2x?1)是偶函数，则函数y?f(2x)的对称轴方
1程是_______(答：x??)．
2⑥函数y?af?x?(a?0)的图象是把函数y?f?x?的图象沿y轴伸缩为原来的a倍得到的.
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11. 函数的对称性。
a?b对称。②点2(x,y)关于y轴的对称点为(?x,y)；函数y?f?x?关于y轴的对称曲线方程为y?f??x?；
③点(x,y)关于x轴的对称点为(x,?y)；函数y?f?x?关于x轴的对称曲线方程为y??f?x?；
④点(x,y)关于原点的对称点为(?x,?y)；函数y?f?x?关于原点的对称曲线方程为y??f??x?；
⑤曲线f(x,y)?0关于点(a,b)的对称曲线的方程为f(2a?x,2b?y)?0。 如若函数y?x2?x与y?g(x)的图象关于点（-2，3）对称，则g(x)＝______
①满足条件f?x?a??f?b?x?的函数的图象关于直线x?（答：?x2?7x?6）
⑥|f(x)|的图象先保留f(x)原来在x轴上方的图象，作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形，然后擦去x轴下方的图象得到；f(|x|)的图象先保留f(x)在y轴右方的图象，擦去y轴左方的图象，然后作出y轴右方的图象关于y轴的对称图形得到。
提醒：（1）从结论②③④⑤可看出，求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；（2）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；
12. 函数的周期性。
（1）类比“三角函数图像”得：
①若y?f(x)图像有两条对称轴x?a,x?b(a?b)，则y?f(x)必是周期函数，且一周期为T?2|a?b|；
如已知定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数，则方程f(x)?0在[?2,2]上至少有__________个实数根（答：5）
（2）由周期函数的定义“函数f(x)满足f?x??f?a?x?(a?0)，则f(x)是周期为a的周期函数”得：
①函数f(x)满足?f?x??f?a?x?，则f(x)是周期为2a的周期函数；
1(a?0)恒成立，则T?2a； ②若f(x?a)?f(x)1(a?0)恒成立，则T?2a. ③若f(x?a)??f(x)如(1) 设f(x)是(??,??)上的奇函数，f(x?2)??f(x)，当0?x?1时，
f(x)?x，则f(47.5)等于_____(答：?0.5)；
（2）设f?x?是定义域为R的函数，且f?x?2???1?f?x????1?f?x?，又
f(2)?2，则f(2008)= 13.指数式、对数式：
(答：3?22)
，，a0?1，loga1?0，logaa?1，lg2?lg5?1，?1manlogex?lnx，ab?N?logaN?b(a?0,a?1,N?0)，alogaN?N，logab?logcb，
a?a，amnnm?mnlogca请浏览后下载，资料供参考，期待您的好评与关注！
2011高三函数第一轮复习知识要点总结必备
