圆的基本性质复习课
教学活动
一、圆的基本性质复习： 例1、 （1）如图，AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，OD是半径，且OD//AC。
求证：CD=BD
师：在圆中，你想到用什么方法证明弦相等呢？下面我们以小组为单位，合作交流各自的想法，尽可能多角度、多途径来证明这两条弦相等。每组选派一位代表，整理组员的意见，待会来汇报展示。 （学生分组交流，一会后学生汇报成果。） 组一：连接OC，?AC//OD ??A??BOD ,?ACO??COD?OA?OC??A??ACO??COD??DOB ?CD?BD
师：这是通过证圆心角相等，得到弦相等。还有其他证明方法吗？ 组二：连接AD，OA=OD ??CAD??ODA??OAD ?AC//OD，
?弧CD=弧BD ?CD=BD
师：由圆周角相等，我们可以得到弧相等（或圆心角相等），从而得到弦相等。这种证法利用了圆心角、圆周角与弧的关系。在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于所对圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等。这样，证弦相等，又多了两条途径：可以考虑去证弧相等，也可以考虑去证圆周角相等。 （边总结，边在黑板上抽离基本图形） 师：还有其他方法吗？
组三：连接BC，?AB是直径 ??ACB?900
?AC//OD ?BC?OD
由垂径定理可以得到弧CD=弧BD ?CD=BD 师：这就利用了垂径定理的基本图形。（同时在黑板上画出这个基本图形）
垂径定理及逆定理体现了直径、弧、弦三种量之间的
关系：直径垂直弦、直径平分弦、直径平分弧，这三个结论中，只要有一个成立，则另两个也同时成立。但要注意，若条件是直径平分弦，则这条弦必须不是直径，另两个结论才会成立。垂径定理及逆定理体现的是圆的轴对称性。
而在圆中，要构造直角，大家要想到直径所对的圆周角是直角；而90的圆周角所对的弦是直径。（同时在黑板上抽离这个基本图
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形。）连直径，作直角是圆中常添的辅助线方法。在圆中构造直角，还常作弦心距，弦心距、弦的一半、半径构成一个直角三角形，这在计算题中用得较多。 师：还有其他方法吗？
组四：延长DO交⊙O于点E，连接AE。
?AC//OD ?弧AE=弧CD ?AE=CD ??AOE ?AE?BD ?CD=BD ??BOD师：这也是圆中的一种基本图形，由弦平行，可以得到所夹弧相等。这个结论我们书上证明过，可以证一对内错角又是圆周角相等得到。
若不添加任何辅助线，你能证明出来吗？（提示：已知的相等两角?A、?BOD的度数分别与弧的度数有什么关系？）
m1组五：??A?弧BC ?BOD?弧BD
21 ?弧BC=弧BD=弧CD ?CD=BD
2m师：圆周角度数等于所对弧度数的一半，圆心角度数等于所对弧的度数。
同学们真是太了不起了，一道题目想出这么多种证法，同学们的思路很开阔。在圆中还有一对基本量，我们刚才提到过，是什么？——弦心距。弦心距于圆心角、弧、弦之间也有一定的联系。在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一对量相等，其余各对量都相等。（同时抽离出基本图形）而圆周角又与圆心角、弧之间有这样的关系，这使得弦心距与圆周角之间也有一定联系。这五种量的关系体现了圆的旋转不变性。圆的轴对称性和旋转不变性构成了圆的基本性质。这四个基本图形集中体现了圆的基本性质。同学们在平时的学习中要注意积累一些基本图形，它有时是解题的关键。
（这个例题分析完后，黑板上出现这些量之间的关系图。） （2）：延长AC、BD交于点E，连接BC，请判断：下面结论中正确的是______________。 ①AB=AE ②BD=DE ③∠E=2∠EBC ④ ⑤△ ECD ∽△EBA
（3）过点D做DG⊥AE，垂足为G，则四
边形DGCF为什么四边形？为什么？
（4）移动点D位置，使点D在弧AB中点处，令点C在弧AD之间，过D做DF⊥BC，DG⊥AE，垂足为E、F，则四边形DGCF是什么四边形？为什么？
师：首先这个四边形已经是一个什么四边形？——矩形。
那再证一个什么条件，矩形就能成为正方形了？
由弧AD=弧BD，你能得到哪些结论？由弧你想到了什么？ 生1：连接OD，?D是弧AB中点 ??BOD?900 ??BCD?1?BOD?450 ?DF=CF 2 ?矩形CFDG是正方形 生2：连接AD,BD ?弧AD=弧BD ?AD=BD ??GAD??FBD,?AGD??DFB?90
??DAG ?DG?DF ??DBF?矩形CFDG是正方形
师：在圆中，我们不要忽视弧的作用，它是弦与角转化的桥梁。 一、小结：
师：通过本节课的学习，你对圆的基本性质又有哪些认识呢？你还有什么收获？
通过本节课的复习，我们又重新梳理了圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距五种量之间的关系，以及直径与弧、弦之间的关系定理——垂径定理及逆定理。从这些关系中我们发现，证明圆中一对量相等的道路是四通八达的，可以考虑证明圆中的其它几对量相等。圆的这些性质是我们计算角、线段及证明角、线段、弧相等的基本依据和方法。 二、圆的基本性质的妙用：
师：复习了圆的基本性质后，老师出了道思考题：
例：圆内接八边形的四条边长为1，另四条边长为2，如图：AB=BC=CD=DE=1,EF=FG=GH=HA=2,求此八边形的面积。 师：九（3）班有几位爱探究的同学课后在一起讨论解决此题。
小慧觉得很困惑：“这个八边形又不是特殊的八边形，这能求出它的面积吗？怎么求哦？“
同学们是否也有这样的困惑呢？ 小聪有想法了：“但八边形是放在圆中，我们能不能利用圆的性质，把八边形的八条边重新排列一下，让它变成比较特殊的八边形呢？”
小聪的想法可行吗？对同学们可有帮助？你们有思路了吗？ 生：把长边和短边间隔排列。
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师：这样排列后，形状改变了，难道面积不变吗？为什么？ 生：利用圆的旋转不变性。
师：现在如何来求这个八边形的面积呢？
生：向外补成一个正方形，因为这个八边形的一个内角是1450。 师：多边形的问题就可以转化为四边形和三角形的问题来解决。 这道题的解决完美体现了圆的旋转不变性的妙用。
初中数学九年级《圆的基本性质复习课》公开课教学设计
