《概率论与数理统计》复习提要 第一章 随机事件与概率
1．事件的关系 2．运算规则 （1） （2） （3） （4） 3．概率满足的三条公理及性质： （1） （2） （3）对互不相容的事
件，有 （可以取） （4） （5） （6），若，则， （7） （8） 4．古典概型：基本事件有限且等可能 5．几何概率 6．条件概率 （1） 定义：若，则 （2） 乘
法公式： 若为完备事件组，，则有 （3） 全概率公式：
（4） Bayes公式： 7．事件的独立性： 独立 （注意独立性的应用） 第二章 随机变量与概率分布 1． 离散随机变量：取有限或可列个值，满足（1），（2） （3）对任意， 2． 连续随机变量：具有概
率密度函数，满足（1） （2） ；
（3）对任意，
4． 分布函数 ，具有以下性质 （1）；（2）单调非降；（3）右连续； （4），特别； （5）对离散随机变量， ； （6） 为连续函数，且在连续点上， 5． 正态分布的概率计算 以记标准正态分布的分布函数，则有 （1）；（2）；（3）若，则 ； （4）以记标准正态分布的上侧分位数，则 6． 随机变量的函数 （1）离散时，求的值，将相同的概率相加； （2）连续，在的取值范围内严格单调，且有一阶连续导
数， ，若不单调，先求分布函数，再求导。 第三章 随机向量
1． 二维离散随机向量，联合分布列，边缘分布 ，有 （1）；（2 （3）， 2． 二维连续随机向量，联合密度，边缘密度，有
（1）；（2） （4） （3）； ，
3． 二维均匀分布，其中为的面积 4． 二维正态分布 且； 5． 二维随机向量的分布函数 有 （1）关于单调非降；（2）关于右连续； （3）； （4），，； （5）； （6）对二维连续随机向量， 6．随机变量的独立性 独立 （1） 离散时 独立 （2） 连续时 独立 （3） 二维正态分布独立，且 7．随机变量的函数分布 （1） 和的分布 的密度（2） 最大最小分布
第四章 随机变量的数字特征 1．期望 (1) 离散时 (2) 连续
时 ，
； ，； (3) 二维时 ， (4)；（5）； （6）； （7）独立时， 2．方差 （1）方差，标准差（2）；
（3）； （4）独立时， 3．协方差
（1）； ； ； （2） （3）； （4）时，称不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价； （5） 4．相关系数 ；有， 5． 阶原点矩， 阶中心矩 第五章
大数定律与中心极限定理 1．Chebyshev不等式 2．大数定律
3．中心极限定理 （1）设随机变量独立同分布，
或 ， 或
或 ， （2）设是次独立重复试验中发生的次数，，则对任意， 或理解为若，则 第六章 样本及抽样分布 1．总体、样本 （1） 简单随机样本：即独立同分
布于总体的分布（注意样本分布的求法）； （2） 样本数字特征： 样本均值（，）； 样本方差 ）样本标准 样本阶原点矩，样本阶中心矩 2．统计量：样本的函数且不包含任何未知数 3．三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分位点定义） （1）分布 ，其中 标准正态分布，若 且独立，则； （2）分布 ，其中且独立； （3）分
布 ，其中 性质 4．正态总体的抽样分
布 （1）； （2 ； （3 且与独立； （4） ； ，（5） （6） 第七章 参数估计 1．矩估计： （1）根据参数个数求总体的矩；（2）令总体的矩等于样本的矩；（3）解方程求出矩估计 2．极大似然估计： （1）写出极大似然函数；（2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数；（4）令导数或偏导数为0，解出极大似然估计（如无解回到（1）直接求最大值，一般为min或max） 3．估计量的评选原则 ，则为无偏；
(2) 有效性：两个无偏估计中方差小的有效； (1)无偏性：若 《概率论与数理统计》期末试题（2）与解答 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件仅发生一个的概率为0.3，且，则 生的概率为 2． 设随机变量服从泊松分布，且，则______. 3． 设随机变量在区间上服从均匀分布，则随机变量在区间 密度为 4． 设随机变量相互独立，且均服从参数为的指数分布，_________， 5． 设总体的概率密度为 是来自
的样本，则未知参数的极大似然估计量为 解：1． 即
所以 .
2． 由 知 即 解得 ，故 . 3．设的分布函数为的分布函数
为，密度为则 因为，所以，即 故
另解 在上函数 严格单调，反函数为 所以
4． ，故 .
5．似然函数为
解似然方程得的极大似然估计为
二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设为三个事件，且相互独立，则以下结论中不正确的是 （A）若，则与也独立. （B）若，则
（C）若，则 与也独立. 与也独立 （D）若，则与也独立.
（ ） 2．设随机变量的分布函数为，则的值为 （A）. （B） （C）. （D）. （ ）
3．设随机变量和不相关，则下列结论中正确的是 （A）与独立. （B） （C）. （D）. （ ） 4．设离散型随机变量和的
联合概率分布为 若独立，则的值为
（A）. （A）. . （ ） （C） （D） 5．设总体的数学期望为为来自的样本，则下列结论中 正确的是 （A）X1是的无偏估计量. （B）X1是的极大似然估计量. （C）X1是的相合（一致）估计量. （D）X1不是的估计量. （ ） 解：1．因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件
独立，所以（A），（B），（C）都是正确的，只能选（D）
事实上由图 可见A与C不独立
2．所以 3．由不相关的等价条件知应选（B）. 4．若独立则有 应选（A）. 2 ， 9 故应选（A） 5．，所以X1是的无偏估计，应选（A）. 三、（7分）已知一批产品中90% 0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合
格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率. 解：设‘任取一产品，经检验认为是合格品’ ‘任取一产品确
是合格品’ 则（1） （2） . 四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3 件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设为途中遇到红灯的次数，求的分布列、分布函数、数学期
望和方差. 解：的概率分布为 即 的分布函数为
五、（10分）设二维随机变量在区域 匀分布. 求（1）关于的边缘概
率密度；（2）的分布函数与概率密 （1）的概率密度为
（2）利用公式 其中
当 或时 时 故的概率密度为
的分布函数为 或利用
分布函数法
六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标和纵坐标 互独立，且均服从分布. 求（1）命中环形区域的概率；（2）
命中点到目标中心距离
1）
；
（2）
. 七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm），今抽取容量为16 样本，测得样本均值，样本方差. （1）求的置信度为0.95 区间；（2）检验假设（显著性水平为0.05）. （附注） 解：（1）的置信度为
下的置信区间为
所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132） （2）
的拒绝域为 ， 因为 ，所以接受 《概率论与数理统计》期末试题（3）与解答 一、填空题（每小题
3分，共15分） （1） 设事件与相互独立，事件与互不相容，事件与互不相容， ，，则事件、、中仅发生或仅 概率为 （2） 甲盒中
有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取 个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为 （3） 设随机变量的概率密度为 现对 察，用表示观察值不大于0.5的次
数，则___________. （4） 设二维离散型随机变量的分布列为 若，则 （5） 设是总体的样本，是样本方差，若，
（注：, , , ） 解：（1） 因为 与不相容，与不相容，所以，故 同理 . . （2）设‘四个球是同
一颜色的’， ‘四个球都是白球’，‘四个球都是黑球’
则 . 所求概率为
所以 （3） 其
中 ， ， （4）的分布为 这是因为 ，由
得 ， 故 （5） 即 ，亦即 . 二、单项选择题（每小题3分，共15
分） （1）设、、为三个事件，且，则有 （A） （B）
（C） （D） （2）设随机变量的概率密度为
且，则在下列各组数中应取 （A） （B） （C）.
（D） （3）设随机变量与相互独立，其概率分布分别为 则有 （ ） ） （A） （B） （C） （D） （ ） （4）对任意随机变量，若存在，则等于 （A） （B） （C） （D） （ ） （5）设 为正态总体的一个样本，表示样本均值，则的 置信度
为的置信区间为 （B） （C） （ ） （D） 解 （1）由知，故 （A） 应选C. （2） 即 时 故当 应选 （3） 应选
（4） 应选 （5）因为方差已知，所以的置信区间为 应选D. 三、（8分）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的 箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都 是一等品，求丢失的也是一等品的概率。 解：
设‘从箱中任取2件都是一等品’ ‘丢失等号’ .
则
； 所求概率为
四、（10分）设随机变量的概率密度为 求（1）常
数； （2）的分布函数； （3） 解：（1） ∴
（2）的分布函数为
（3） 五、（12分）设的概率密度为 求（1）边缘概率密度； （2）； （3）的概率密度
（2）
（3） 时
时
六、（10分）（1）设，且与独立，求； （2）设且与独立，
求.
； （2）因相互独立，所以
七、（10分）设总体的概率密度为 试用来自总
体的样本，求未知参数的矩估计和极大似然估计 解：先求矩估计
故的矩估计为 再求极大似然估计
所以的极大似然估计为 《概率论与数理统计》期末试题（4）与解答 一、填空题（每小题3分，共15分）
（1） 设,,，则至少发生一个的概率为 （2） 设服从泊松分布，若，则 （3） 设随机变量的概率密度函数为 今对进行8 独立观测，以表示观测值大于1的观测次数，则 （4） 的指数分布，由5个这种元件串联而组成的系统，能够 正常工作100小时以上的概率为 （5） 设测量零件的长度产生的误差服从正态分布，今随机地测量
16 ，. 在置信度0.95下，的置信区间为
得 （2） 故 . 解：（1） （3），其
中 . （4）设第件元件的寿命为，则求概率为 （5）的置信度下的置信区间
为 . 系统的寿命为，
所以的置信区间为（）. 二、单项选择题（下列各题中每题只有一个答案是对的，请将其代号填入（ ） 中，每小题3分，共15分） （1）是任意事件，在下列各式中，不成立的是 （A） （B）
（C） . . （D）.
（ ） （2）设是随机变量，其分布函数分别为，为使 是某一随机变
量的分布函数，在下列给定的各组数值 中应取 . （B）. （C）. （D）. （ ） （3）设随机变量的分布
函数为，则的分布函数为 （A） （A）. （B） . （D）. （ ） （4）设随机变量的概率分布为 . 且满足，则的相关
系数为 （C） . （C）. （D）. （ ） 相互独立，根据切比 （5）设随机变量 雪
夫不等式有 （A）0. （B . （C）. （D）. （ ） 解：（1）（A）：成立，（B）： 应选（B） （A）. （B） （2）. 应选
（C） （3） 应选（D）
（4）的分布
为
，所以， 于是 . 应选（A） （5） 由切比雪夫不等式
应选（D） 三、（8分）在一天中进入某超市的顾客人数服从参数为的泊松分布，而进入 超市的每一个人购买种商品的概率为，若顾
客购买商品是相互独立的， 求一天中恰有个顾客购买种商品的概率。 解：设‘一天中恰有个顾客购买种商品’ ‘一天中有个顾客
进入超市’ 则
四、（10分）设考生的外语成绩（百分制）服从正态分布，平均成绩（即参 数之值）为72分，96以上的人占考生总数的2.3%，今任取100个考生 的成绩，以表示成绩在60分至84分之间的人数，求（1）的分布列.
（2） 和. 解：（1），其中
由 得
所以 故的分布列为 （2），. 五、（10分）设在由直线及曲线y 上服从均匀分布， （1）求边缘密度和，并说明与是否独立. （2）求. 解：区域D的面积 的概率密
度为 所围成的区域
（1）
（2）因，所以不独立.
（3） . 六、（8分）二维随机变量在以为顶点的三角形区 域上服从均匀分布，求的概
率密度。 设的概率密度为，则 当 或时 当 时 所以的密度为
解2：分布函数法，设的分布函数为，则
故的密度为 七、（9分）已知分子运动的速度具有概率密度 为的简单随 机样本 （1）求未知参数的矩估计和极大似然估计； （2）验
证所求得的矩估计是否为的无偏估计。 解：（1）先求矩估计
再求极大似然估计
得的极大似然估计 （2）对矩估计
是的无偏估计 所以矩估计 八、（5分）一工人负责台同样机床的维修，这台机床自左到右排在一条直 线上，相邻两台机床的距离为（米）。假设每台机床发生故障的概率均为 ，且相互独立，若
表示工人修完一台后到另一台需要检修的机床所走 的路程，求 解：设从左到右的顺序将机床编号为 为已经修完的机器编号，表示
将要去修的机床号码，则
于是
《概率论与数理统计》试题（5） 一、 判断题（每小题3分，本题共15分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 设A、B是Ω中的随机事件,必有P(A-B)=P(A)-P(B) ( ) ⑵ 设A、B是Ω中的随机事件,则A∪B=A∪AB∪B ( ) ⑶ 若X服从二项分布b(k;n,p), 则EX=p ( ⑷ 样本均
值= 是母体均值EX的一致估计 （ ） ⑸ X～N(,) , Y～N(,) ，则 X－Y～N(0, )
（ ） 二、 计算（10分） （1）教室里有个学生，求他们的生日都不相同的概率； （2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在
同一个月的概率 三、（10分） 设，证明、互不相容与、 立 四、（15分）某地抽样结果表明，考生的外语成绩 绩（即参数之值）为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。分布表如下 x 0 1 1.5 2 2.5 Ф(x) 0.5 0.841 0.933 0.977
0.994 0.999 五、（15分） 设的概率密度为
问是否独立？ 六、（20分）设随机变量服从几何分布，其分布列为 ， 求与 七、（15分）设总体服从指数分布 试利用样本，求参数的极大似然估计 八 《概率论与数理统计》试题（5）评分标准 一 ⑴ ×；⑵ √；⑶ ×；⑷ √；⑸ ×。 二 解 （1）设‘他们的生日都不相同’，则 ----------------------------------------------------------5分
（2）设‘至少有两个人的生日在同一个月’，
则 ； 或 -------------------------------------------10分 三 证 若、互不相容，则，于是 所以 、不相互独立.-----------------------------------------------------------5分 若、相互独立，则，于是， 即、不是互不相容的.--------------------------------------------------------------5分 四 解 -------------------------3分 -------------------------------------7分 所求概率为 分 =2Ф（1）-1=2×0.841-1=0.682--------------------15分 五 解 边际密度为
---5分 ---------------------------------------------------------10分 因为 独立.-----------------------------------15分 ，所以 六 解1 --8分 其中 由函数的幂级数展开有 所
以 ， 因为 所以
--------------------------------12分
-----16分 ------------------------------------20分
七 解
-----------------------------------------------------------8分 由极大似然估计的定义，的极大似然估计为---------------------------15分 《概率论与数理统计》试题（6） 一、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 设A、B是Ω中的随机事件，则Ａ－ＢA （ ）
⑵ 对任意事件A与B，则有P(A∪B)=P(A)+P(B) （ ） ⑶ 若X服从二项分布b(k;n,p),则EX=npq
( ⑷ X~ N（， 2 ），X1 ，X 2 ，??Xn是X的样本，则~ N（， 2 ） （） ⑸X为随机变量，则DX=Cov（X，X）----------------------------------------------（ ） 二、（10分）一袋中装有枚正品硬币，枚次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）从袋中任取一枚，已知将它投掷次，每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？. 三、（15分）在平面上画出等距离 的针，求针与任一平行线相交的概率 四、（15分） 从学校到火车站的途中有3 相互独立的，并且概率都是分布函数和数学期望. 五、（15分）设二维随机变量（，）在圆域x2+y2≤a2上服从均匀分布，（1）求和 的相关系数；
（2）问是否独立？ 六、（10分）若随机变量序
列 ，设为途中遇到红灯的次数，求随机变量的分布律、 满足条件 试证明服从大数定律 七、（10分） 设 是来自总体的一个样本， 是 个估计量，若且 试证是的相合（一致）估计量。 八、（10分）某种零件的尺寸标准差为σ=5.2，对一批这类零件检查9件得平均尺寸数据（毫米）：=26.56,设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是26毫米（）.正态分布表如下 x 0 1.56 1.96
2.33 Ф(x) 0.5 0.941 0.975 0.99 0.999 《概率论与数理统计》试题（6）评分标准 一 ⑴ √；⑵ ×；⑶
×；⑷ ×；⑸ √。 二解 设‘任取一枚硬币掷次得个国徽’，
‘任取一枚硬币是正品’， 则 所求概率
为 ，----------------------------------------------------------5
分
.------------------10分 三 解 设‘针与某平行线相交’，针落在平面上的情况不外乎图中的几种， 设为针的中点
到最近的一条平行线的距离。 为针与平行线的夹角，
则 ，不等式确定了平面上 的一个区域.------------------------------------6分 发生， 不等式确定的子域------------------------10分
故
-----------------------------------------------------15分 四 解 即 ，分布律为 -----------------------5分 的分布函数为 ------------------有所不同-----------------10分 ---------------------------------------------------15分 五． 解 的密度为 -------------------------------------------3分 （1）
（2）关于的边缘密度为 故 的相关系
数.----------------------------------------------------------9分 关于的边缘密度的 因为，所以不独
立.------------------------------------15分 六 证：由契贝
晓夫不等式，对任意的有 所以对任意的 ---------5分 故服从大数定律。----------------------------------------------------------------------10分 七 证 由契贝晓夫不等式，对任意的有 -------------------------------------------------------5分 于是 即 依概率收敛于，故是的相合估计。--------------------------------------10分 八 解 问题是在已知的条件下检验假设：=26 查正态分布表，1 =1.96---------------5分 1u1=1.08＜ 应当接受，即这批零件的平均尺寸应认为是26毫米。---------------15分 数理统计练习 一、填空题 1、设A、B为随机事件，且(A)=0.5，(B)=0.6，，则(A+B)=__ _ 2 ，则此射手的命中率 。 3、设随机变量服从[0，2]上均匀分布，则 。 4、设随机变量服从参数为的泊松（）分布，且已知＝1，则_____。 5、一次试验的成功率为，进行100次独立重复试验，当_____时 为 。 6、
（，）服从二维正态分布，则的边缘分布为。 7、已知随机向量（， ， ()= 。 8、随机变量的数学期望，方差，、为常数，则有= ；= 。 9、若随机变量～ (－2，4)，～ (3，9)，且与相互独立。设＝2－＋5，则～ 。 的两个 估计量，若，则称比有效。 10、 1、设、为随机事件，且()=0.4, ()=0.3,(∪)=0.6，则()=_ _ 。 2、设，，且{ 1}=，则{ 1}= 。 3、设随机变量服从参数为2的泊松分布，且 =3-2 则()= 。 4、设随机变量服从[0,2]上的均匀
分布，=2+1，则()= 。 5、设随机变量的概率密度
是： ，且 ，则= 。 6、利用正态分布的结论，有 。 数理统计练习 一、填空题 1、设A、B为随机事件，且(A)=0.5，(B)=0.6，
)=0.8，则(A+B)=__ 0.7 __。 2 ，则此射手的命中率。
3、设随机变量服从[0，2]上均匀分布，则 1/3 。 4、设随机变量服从参数为的泊松（）分布，且已知＝1，则___1____。 5、一次试验的成功率为，进行100次独立重复试验，当1/2_____时 大值为 25 。 6、（，）服从二维正态分布，则的边缘分布为 。 7、已知随机向量（， ()=。 8、随机变量的数学期望，方差，、为常数，则 = =。 9、若随机变量～ (－2，4)，～ (3，9)，且与相互独立。设＝2－＋5，则～ N(-2, 25) 。 的两个 无偏 估计量，若，则称比有效。 10、 1、设、为随机事件，且()=0.4, ()=0.3,(∪)=0.6，则()=_0.3__。 2、设，
，且{ 1}=，则{ 1}=。 3、设随机变量服从参数为2的泊松分布，且 =3-2 则()=4 。 4、设随机变量服从[0,2]上的均匀分
布，=2+1，则()= 4/3 。 5、设随机变量的概率密度
是： ，且 ，则=0.6 。 6、利用正态分布的结论，有 1 。 7、若随机变量～ (1，4)，～ (2，9)，且与相互独立。设＝－＋3，则～ 。 1、设A，B为随机事件，且(A)=0.7，(A－B)=0.3，则 。 2、四个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为，则密码能被译出的概率是 。 3、射手独立射击8次，每次中靶的概率是0.6，那么恰好中靶3次的概率是 。 4、已知随机变量服从[0, 2]上的均匀分布，则 ()= 。 5、设随机变量X服从参数为
的泊松分布，且，则= 。 6、设随机变量~ (1, 4)，已知
Φ(0.5)=0.6915，Φ(1.5)=0.9332，则 。 7、随机变量的概率密度函数 ，则()= 。 8、已知总
体~ (0, 1)，设1，2，?，是来自总体 2 ~ 。 1、设A，B为随机事件，且(A)=0.6, (AB)= (), 则
()= 0.4 。 2、设随机变量与 ，则
(=)=_ 。 3、设随机变量服从以, 为参数的二项分布，且
=15，=10，则= 。 4、设随机变
量 ，则= 。 5、设随机变量的数学期望和方差>0都存在，令 ，则Y= 。 6、设随机变量服从区间[0，5]上的均匀分布，服从的指数分布，且，相互独立，则(, )的 联合密度函数。 7、随机变量与相互独立，且()=4，()=2，则(3－2)＝ 。 9 是 。 7、若随机变量～ (1，4)，～ (2，9)，且与相互独立。设＝－＋3，则～ 。 1、设A，B为随机事件，且(A)=0.7，(A－B)=0.3，则0.6 。 ，则目标能被击中的概率 2、四个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为，则密码能被译出的概率是 11/24 。 3、射手独立射击8次，每次中靶的概率是0.6，那么恰好中靶3次的概率是。 4、已知随机变量服从[0, 2]上的均匀分布，则 ()= 1/3 。 5、设随机变量X服从参数为的泊松分布，且，则= 6 。 6、设随机变量~ (1, 4)，已知Φ(0.5)=0.6915，Φ(1.5)=0.9332，则 0.6247 。 7、随机变量的概率密度函数 ，则()= 1 。 8、已知总
体~ (0, 1)，设1，2，?，是来自总体 ~。 1、设A，B为随机事件，且(A)=0.6, (AB)= (), 则()=
0.4 。 2、设随机变量与 ，则(=)=_ 0.5_。 3、设随机变量服从以, 为参数的二项分布，且=15，=10，则= 45 。 4、设随机变量 ，则= 2 。 5、设随机变量的数学期望和方差>0都存在，令 ，则Y= 1 。 6、设随机变量服从区间[0，5]上的均匀分布，服从的指数分布，且，相互独立，则(, ) 合密度函数 (, )= 。 7、随机变量与相互独立，且()=4，()=2，则(3－2)＝ 44。 9、三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为 1、设A,B为两个随机事件，且P(A)=0.7, P(A-B)=0.3，则_ ，则目标能被击中的概率
是3/5 。 2、设随机变量 }的分布律为 。 ，且与独立同分布，则随机变量＝max{, 3、设随机变量～(2，)，且{2 < <4}＝0.3，则{< 0}＝。 4、设随机变量 服从泊松分布，则= 。 5、已知随机变量的概率密度为，令，则的概率密度为 。 6、设是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4，则 。 7、1，2，?，是取自总体 ～。 9、称统计量的 估计量，如果=。 10、概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，这个原理称为 。 1、设A、B为两个随机事件，若(A)=0.4，(B)=0.3，，则 。 2、设是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4，则 。 3、设随机变量～ (1/4，9)，以表示对的5次独立重复观察中“”出现的次数，则= 。 4、已知随机变量服从参数为的泊松分布，且P(=2)=P(=4)，则= 。 5、称统计量的无偏
估计量，如果= 。 6、设，且， 。 7、若随机变量～ (3，9)，～ (－1，5)，且与相互独立。设＝－2＋2，
则～ 。 8、已知随机向量(, )的联合概率密
度 ，则E= 1/3 。 9、已知总体是来自总体的样本，要检验 。 1、设A,B为两个随机事件，且P(A)=0.7, P(A-B)=0.3，则_0.6 2、设随机变
量 ，且与独立同分布，则随机变量＝max{,}的分布律为 3、设随机变量～(2，)，且{2 < <4}＝0.3，则{< 0}＝ 4、设随机变量 服从泊松分布，则=。 5、已知随机变量的概率密度为，令，则的概率密度 。 6、设是10次独立重复试验成功的次数，若
每次试验成功的概率为0.4，则 2.4 。 7、1，2，?，是取自总体 ～。 8、已知随机向量(, )的联合概率密度，则E= 2/3 。 9、称统计量的 无偏 估计量，如果=。 10、概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，这个原理称为 小概率事件原理。 1、设A、B为两个随机事件，若(A)=0.4，(B)=0.3，，则 0.3 。 2、设是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4，则。 3、设随机变量～ (1/4，9)，以表示对的5次独立重复观察中“”出现的次数，则 5/16 。 4、已知随机变量服从参数为的泊松分布，且P(=2)=P(=4)，则=。 5、称
统计量的无偏估计量，如果=θ 。 6、设，且，
t(n) 。 7、若随机变量～ (3，9)，～ (－1，5)，且与相互独立。设＝－2＋2，则～ N (7，29) 。 8、已知随机向量(, )的联合概率密度 ，则E= 1/3 。 9、已知总体是来自总体的样本，要检验 。 1、设A、B为两个随机事件，(A)=0.4, (B)=0.5，，则 。 2、设随机变量 ~ (5, 0.1)，则 (1－2)＝ 。 3 ，则每次射击击中目标的概率
为 。 4、设随机变量的概率分布为，则的期望E= 。
6、设(, )的联合概率分布列为
若、相互独立，则= ，= 。 7、设随机变量服从[1，5]上的均匀分布，则 。 9、若是来自总体的样本，分别为样本均值和样本方差 ~ t (n-1) 。 的两个无偏估计量，若，则称比 10、 1、已知(A)=0.8，(A－B)=0.5，且A与B独立，则 (B) ＝ 。 2、设随机变量～(1，4)，且，则
＝ 。 3、随机变量与相互独立且同分布， ，，则
5、设随机变量～ (1，4)，则＝ 。（已知，
） 6、若随机变量～ (0，4)，～ (－1，5)，且与相互
独立。设＝＋－3，则～ 。 1、设A、B为两个随机事件，(A)=0.4, (B)=0.5，，则 0.55 。 2、设随机变量 ~ (5, 0.1)，则
(1－2)＝ 1.8 。 3 ，则每次射击击中目标的概率为
1/4 。 4、设随机变量的概率分布为，则的期望E= 2.3。
6、设(, )的联合概率分布列为
若、相互独立，则= 1/6 ，= 1/9 。 7、设随机变量服从[1，5]上的均匀分布，则 1/2 。 9、若是来自总体的样本，分别为样本均值和样本方差 ~ t (n-1) 。 的两个无偏估计量，若，则称比。 10、 1、已知(A)=0.8，(A－B)=0.5，且A与B独立，则 (B) ＝ 3/8 。 2、设随机变量～(1，4)，且
，则＝ 1 。 3、随机变量与相互独立且同分
布， ，，则 。 5、设随机变量～ (1，4)，则＝ 0.3753 。（已知，） 6、若随机变量～
(0，4)，～ (－1，5)，且与相互独立。设＝＋－3，则～ N (－4，9) 。 9、袋中有大小相同的红球4只，黑球3只，从中随机一次抽取2只，则此两球颜色不同的概率为 。 1设A、B为两个随机事件，(A)=0.8，(AB)=0.4，则(A－B)= 0.4 。 2、设是10次独立重复试验成功的次
数，若每次试验成功的概率为0.4，则 。 3、设随机变量的概率分布为
则 4、设随机变量的概率密度函
数 ，则= 。 5、袋中有大小相同的黑球7只，白球3 为，则 {＝10}＝ 。 6、某人投篮，每次命中率为0.7，现独立投篮5次，恰好命中4次的概率
是 。 7、设随机变量的密度函
数 ，且，则= 。 9、设，且， 10、概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，这个原理称为 小概率事件原理 。 9、袋中有大小相同的红球4只，黑球3只，从中随机一次抽取2只，则此两球颜色不同的概率为 4/7 。 1设A、B为两个随机事件，(A)=0.8，(AB)=0.4，则(A－B)= 0.4 。 2、设是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概
率为0.4，则 2.4 。 3、设随机变量的概率分布为 则= 0.7 。 4、设随机变量的概率密度函
数 ，则 。 5、袋中
有大小相同的黑球7只，白球3 为，则 {＝10}＝ 0.39*0.7 。
6、某人投篮，每次命中率为0.7，现独立投篮5次，恰好命中4次的概率是。 7、设随机变量的密度函数 ，且，则= -2 。 9、设，且， 10、概率很小的事件在一次试验中几
乎是不可能发生的，这个原理称为 小概率事件原理 。
1、随机事件A与B独立， 。 4、设表示10次独立重复射击命中
目标的次数，且每次命中率为0.4，则= _。
5、随机变量，则 。 6、四名射手独立地向一目标进行射击，已知各人能击中目标的概率分别为1/2、3/4、2/3、3/5 击中的概率是 。 7、一袋中有2个黑球和若干个白球，现有放回地摸球4
的个数是 。 ，则袋中白球
1、随机事件A与B独立， 0.4 。 4、设表示10次独立重复射击命
中目标的次数，且每次命中率为0.4，则。
5、随机变量，则 N(0,1) 。 6、四名射手独立地向一目标进行射击，已知各人能击中目标的概率分别为1/2、3/4、2/3、3/5 击中的概率是 59/60 。 7、一袋中有2个黑球和若干个白球，现有放回地摸球
4 的个数是 4 。 ，则袋中白球
二、选择题 1、设随机事件与互不相容，且，则（ D ）。 Ａ. B. Ｃ. Ｄ. 2、将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮
筒投信的概率为（ A ）。 A. B. C. D. １、设，为随机事件，，，则必有（ A ）。 A. B. C. D. ２、某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为，他
连续射击直到命中为止，则射击次数为3 是（ C ）。 A. B. C. D. 3、设是来自总体的一个简单随机样
本，则最有效的无偏估计是( A )。 A. B. C. D. １、已知A、B、C为三个随机事件，则
A、B、C不都发生的事件为（A）。 A. B. C. ++ D. ２、下列各函数中是随机变量分布函数的为（ B ）。 B. A. C. D. 3、是二维随机
向量，与不等价的是（ D ） A. B. C. D. 和 相互独立 1、若随机事件与相互独立，则＝（ B ）。 A. B. C. D. 2、设总体的数学期望E＝μ，方差D＝σ，1，2，3，4是来自总体的简单
随机样本，则下列μ 计量中最有效的是（ D ）
4、设离散型随机变量的概率分布为 ，，则＝（ B ）。 A. 1.8 B. 2 C. 2.2 D. 2.4 1、
若A与B对立事件，则下列错误的为（ A ）。 A. B. C. D. 2、下列事件运算关系正确的是（ A ）。 A. B. C. D. 4、若，则（D ）。 A. 和相互独立 与不相关 C. 5、若随机向量（）服从二维正态分布，则①一定相互独立； ② 若，则 独立；③和都服从一维正态分布；④若相互独立，则 Cov (, ) =0。几种说法中正确的是（ B ）。 A. ① ② ③ ④ B. ② ③ ④ C.
① ③ ④ D. ① ② ④ 1、设随机事件A、B互不相容，，则＝
（ C ）。 A. B. C. D. 2、设，是两个随机事件，则下列等式中（ C ）是不正确的。 A. ，其中，相互独立 B. ，其中 C. ，其中，互不相容 D. ，其中 5、设是一组样本观测值，则
其标准差是（ B ）。 B. C. D. 1、若A、B相互独立，则下列式子成立的为（ A ）。 A. B. C. D. ）。 2、若随机事件的概率分别为，，则与一定（D A. 相互对立 B. 相互独立 C. 互不相容 D.相容 1、对任意两个事件和， 若， 则（ D ）。 A. B. C. D. 2、设、
为两个随机事件，且，， ， 则必有（ B ）。 A. B. C. D. 互不相容 4、已知随机变量和相互独立，且它们分别在区间[－1，3]和[2，4]上服从均匀分布，则（ A ）。 A. 3 B. 6 5、设随机变量～(μ，9)，～(μ，25)，记，则（ B ）。 A. 1<2 B. 1＝2 C. 1>2 D. 1与2的关系无法确定 1、
设两个随机事件相互独立，当同时发生时，必有发生，则（ A ）。 A. B. C. D. 3、两个独立随机变量，则下列不成立的是（ C ）。
A. B. C. D. 1、若事件两两独立，则下列结论成立的是
（ B ）。 A. 相互独立 B. 两两独立 D. 相互独
立 C. 2、连续型随机变量的密度函数()必满足条件（ C ）。 4、设随机变量, 相互独立，且均服从[0，1]上的均匀分布，则服从均匀分布的是（ B ）。 A. B. （, ） C. — D. + 三（1）、已知5%的男性和0.25% 盲者的概率。 设A：表示此人是男性； B：表示此人是色盲。 则所求的概率为 答：
此人恰好是色盲的概率为0.02625。
三（2）、已知5%的男性和0.25% 盲，问此人是男性的概率。 设A：表示此人是男性； B：表示此人是色盲。 则
所求的概率为
答：此人是男人的概率为0.4878。 。 三（3）、一袋中装有10个球，其中3个白球，7 二次取得白球的概率。 解 设表示表示第次取得白球，=1,2。 则所求事件的概率
为 答：第二次取得白球的概率为3/10。
三（4）、一袋中装有10个球，其中3个白球，7 二次取得白球，则第
一次也是白球的概率。 解 设表示表示第次取得白球，=1,2 。 则所求事件的概率为 答：第二次摸得白球，第一次取得也是白球的概率为2/9。 三（5）、 相等，且第一、第二、第三厂家的次品率依次为2％，2％，4％。若在市场上随机购买
一件商品为次品，问该件商品是第一厂家生产的概率为多少？ 解 设表示产品由第家厂家提供，=1, 2, 3；B表示此产品为次品。 则所求事件的概率为 答：该件商品是第一产家生产的概率为0.4。 三（6）、甲、乙、丙三车间加工
同一产品，加工量分别占总量的25%、35%、40%，次品率分别为0.03、0.02
0.01。现从所有的产品中抽取一个产品，试求（1）该产品是次品的概率；（2）若检查结果显示该产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率是多少？ 解：设，，表示甲乙丙三车间
加工的产品，B表示此产品是次品。 （1）所求事件的概率为 （2） 答：这件产品是次品的 概率为0.0185，若此件产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率为0.38。 三（7）、一个机床有1/3的时间加工零件A，其余时间加工零件B。加工零件A时停机的概率是0.3 件A时停机的概率是0.4。求（1）该机床停机的概率；（2）若该
机床已停机，求它是在加工零件A时发 生停机的概率。 解：设，，表示机床在加工零件A或B，D表示机床停机。 （1）机床停机夫的概率为 （2）机床停机时正加工零件A的概率为 三（8）、甲、乙、丙三台机床加工一批同一种零件，各机床加工的零件数量之比为5：3：2 零件合格率依次为94％，90％，95％。现从加工好的整
批零件中随机抽查一个，发现是废品，判断它是由甲机床加工的概率。 解 设，，表示由甲乙丙三机床加工，B表示此产品为废品。（2分） 则所求事件的概率为 ＝ 答：此废品是甲机床加工概率为3/7。 三（9）、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，其概率分别为5％、15％、30％、50 乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100％、70％、60％、90％。已知该人误期到达，求他
是乘坐火车的概率。
（10分） 解：设，，，分别表示乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交
通工具，B表示误期到达。 则
答：此人乘坐火车的概率为0.209。 三（10）、某人外出可以乘坐飞
机、火车、轮船、汽车四种交通工具，其概率分别为5％、15％、30％、50 乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100％、70％、60％、90％。求该人如期到达的概率。 解：设，，，分别表示乘坐飞机、火车、轮
船、汽车四种交通工具，B表示如期到达。
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