《概率论与数理统计》复习提要 第一章 随机事件与概率
1.事件的关系 2.运算规则 (1) (2) (3) (4) 3.概率满足的三条公理及性质: (1) (2) (3)对互不相容的事
件,有 (可以取) (4) (5) (6),若,则, (7) (8) 4.古典概型:基本事件有限且等可能 5.几何概率 6.条件概率 (1) 定义:若,则 (2) 乘
法公式: 若为完备事件组,,则有 (3) 全概率公式:
(4) Bayes公式: 7.事件的独立性: 独立 (注意独立性的应用) 第二章 随机变量与概率分布 1. 离散随机变量:取有限或可列个值,满足(1),(2) (3)对任意, 2. 连续随机变量:具有概
率密度函数,满足(1) (2) ;
(3)对任意,
4. 分布函数 ,具有以下性质 (1);(2)单调非降;(3)右连续; (4),特别; (5)对离散随机变量, ; (6) 为连续函数,且在连续点上, 5. 正态分布的概率计算 以记标准正态分布的分布函数,则有 (1);(2);(3)若,则 ; (4)以记标准正态分布的上侧分位数,则 6. 随机变量的函数 (1)离散时,求的值,将相同的概率相加; (2)连续,在的取值范围内严格单调,且有一阶连续导
数, ,若不单调,先求分布函数,再求导。 第三章 随机向量
1. 二维离散随机向量,联合分布列,边缘分布 ,有 (1);(2 (3), 2. 二维连续随机向量,联合密度,边缘密度,有
(1);(2) (4) (3); ,
3. 二维均匀分布,其中为的面积 4. 二维正态分布 且; 5. 二维随机向量的分布函数 有 (1)关于单调非降;(2)关于右连续; (3); (4),,; (5); (6)对二维连续随机向量, 6.随机变量的独立性 独立 (1) 离散时 独立 (2) 连续时 独立 (3) 二维正态分布独立,且 7.随机变量的函数分布 (1) 和的分布 的密度(2) 最大最小分布
第四章 随机变量的数字特征 1.期望 (1) 离散时 (2) 连续
时 ,
; ,; (3) 二维时 , (4);(5); (6); (7)独立时, 2.方差 (1)方差,标准差(2);
(3); (4)独立时, 3.协方差
(1); ; ; (2) (3); (4)时,称不相关,独立不相关,反之不成立,但正态时等价; (5) 4.相关系数 ;有, 5. 阶原点矩, 阶中心矩 第五章
大数定律与中心极限定理 1.Chebyshev不等式 2.大数定律
3.中心极限定理 (1)设随机变量独立同分布,
或 , 或
或 , (2)设是次独立重复试验中发生的次数,,则对任意, 或理解为若,则 第六章 样本及抽样分布 1.总体、样本 (1) 简单随机样本:即独立同分
布于总体的分布(注意样本分布的求法); (2) 样本数字特征: 样本均值(,); 样本方差 )样本标准 样本阶原点矩,样本阶中心矩 2.统计量:样本的函数且不包含任何未知数 3.三个常用分布(注意它们的密度函数形状及分位点定义) (1)分布 ,其中 标准正态分布,若 且独立,则; (2)分布 ,其中且独立; (3)分
布 ,其中 性质 4.正态总体的抽样分
布 (1); (2 ; (3 且与独立; (4) ; ,(5) (6) 第七章 参数估计 1.矩估计: (1)根据参数个数求总体的矩;(2)令总体的矩等于样本的矩;(3)解方程求出矩估计 2.极大似然估计: (1)写出极大似然函数;(2)求对数极大似然函数(3)求导数或偏导数;(4)令导数或偏导数为0,解出极大似然估计(如无解回到(1)直接求最大值,一般为min或max) 3.估计量的评选原则 ,则为无偏;
(2) 有效性:两个无偏估计中方差小的有效; (1)无偏性:若 《概率论与数理统计》期末试题(2)与解答 一、填空题(每小题3分,共15分) 1. 设事件仅发生一个的概率为0.3,且,则 生的概率为 2. 设随机变量服从泊松分布,且,则______. 3. 设随机变量在区间上服从均匀分布,则随机变量在区间 密度为 4. 设随机变量相互独立,且均服从参数为的指数分布,_________, 5. 设总体的概率密度为 是来自
的样本,则未知参数的极大似然估计量为 解:1. 即
所以 .
2. 由 知 即 解得 ,故 . 3.设的分布函数为的分布函数
为,密度为则 因为,所以,即 故
另解 在上函数 严格单调,反函数为 所以
4. ,故 .
5.似然函数为
解似然方程得的极大似然估计为
二、单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设为三个事件,且相互独立,则以下结论中不正确的是 (A)若,则与也独立. (B)若,则
(C)若,则 与也独立. 与也独立 (D)若,则与也独立.
( ) 2.设随机变量的分布函数为,则的值为 (A). (B) (C). (D). ( )
3.设随机变量和不相关,则下列结论中正确的是 (A)与独立. (B) (C). (D). ( ) 4.设离散型随机变量和的
联合概率分布为 若独立,则的值为
(A). (A). . ( ) (C) (D) 5.设总体的数学期望为为来自的样本,则下列结论中 正确的是 (A)X1是的无偏估计量. (B)X1是的极大似然估计量. (C)X1是的相合(一致)估计量. (D)X1不是的估计量. ( ) 解:1.因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件
独立,所以(A),(B),(C)都是正确的,只能选(D)
事实上由图 可见A与C不独立
2.所以 3.由不相关的等价条件知应选(B). 4.若独立则有 应选(A). 2 , 9 故应选(A) 5.,所以X1是的无偏估计,应选(A). 三、(7分)已知一批产品中90% 0.05,一个次品被误认为是合格品的概率为0.02,求(1)一个产品经检查后被认为是合
格品的概率;(2)一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率. 解:设‘任取一产品,经检验认为是合格品’ ‘任取一产品确
是合格品’ 则(1) (2) . 四、(12分)从学校乘汽车到火车站的途中有3 件是相互独立的,并且概率都是2/5. 设为途中遇到红灯的次数,求的分布列、分布函数、数学期
望和方差. 解:的概率分布为 即 的分布函数为
五、(10分)设二维随机变量在区域 匀分布. 求(1)关于的边缘概
率密度;(2)的分布函数与概率密 (1)的概率密度为
(2)利用公式 其中
当 或时 时 故的概率密度为
的分布函数为 或利用
分布函数法
六、(10分)向一目标射击,目标中心为坐标原点,已知命中点的横坐标和纵坐标 互独立,且均服从分布. 求(1)命中环形区域的概率;(2)
命中点到目标中心距离
1)
;
(2)
. 七、(11分)设某机器生产的零件长度(单位:cm),今抽取容量为16 样本,测得样本均值,样本方差. (1)求的置信度为0.95 区间;(2)检验假设(显著性水平为0.05). (附注) 解:(1)的置信度为
下的置信区间为
所以的置信度为0.95的置信区间为(9.7868,10.2132) (2)
的拒绝域为 , 因为 ,所以接受 《概率论与数理统计》期末试题(3)与解答 一、填空题(每小题
3分,共15分) (1) 设事件与相互独立,事件与互不相容,事件与互不相容, ,,则事件、、中仅发生或仅 概率为 (2) 甲盒中
有2个白球和3个黑球,乙盒中有3个白球和2个黑球,今从每个盒中各取 个球,发现它们是同一颜色的,则这颜色是黑色的概率为 (3) 设随机变量的概率密度为 现对 察,用表示观察值不大于0.5的次
数,则___________. (4) 设二维离散型随机变量的分布列为 若,则 (5) 设是总体的样本,是样本方差,若,
(注:, , , ) 解:(1) 因为 与不相容,与不相容,所以,故 同理 . . (2)设‘四个球是同
一颜色的’, ‘四个球都是白球’,‘四个球都是黑球’
则 . 所求概率为
所以 (3) 其
中 , , (4)的分布为 这是因为 ,由
得 , 故 (5) 即 ,亦即 . 二、单项选择题(每小题3分,共15
分) (1)设、、为三个事件,且,则有 (A) (B)
(C) (D) (2)设随机变量的概率密度为
且,则在下列各组数中应取 (A) (B) (C).
(D) (3)设随机变量与相互独立,其概率分布分别为 则有 ( ) ) (A) (B) (C) (D) ( ) (4)对任意随机变量,若存在,则等于 (A) (B) (C) (D) ( ) (5)设 为正态总体的一个样本,表示样本均值,则的 置信度
为的置信区间为 (B) (C) ( ) (D) 解 (1)由知,故 (A) 应选C. (2) 即 时 故当 应选 (3) 应选
(4) 应选 (5)因为方差已知,所以的置信区间为 应选D. 三、(8分)装有10件某产品(其中一等品5件,二等品3件,三等品2件)的 箱子中丢失一件产品,但不知是几等品,今从箱中任取2件产品,结果都 是一等品,求丢失的也是一等品的概率。 解:
设‘从箱中任取2件都是一等品’ ‘丢失等号’ .
则
; 所求概率为
四、(10分)设随机变量的概率密度为 求(1)常
数; (2)的分布函数; (3) 解:(1) ∴
(2)的分布函数为
(3) 五、(12分)设的概率密度为 求(1)边缘概率密度; (2); (3)的概率密度
(2)
(3) 时
时
六、(10分)(1)设,且与独立,求; (2)设且与独立,
求.
; (2)因相互独立,所以
七、(10分)设总体的概率密度为 试用来自总
体的样本,求未知参数的矩估计和极大似然估计 解:先求矩估计
故的矩估计为 再求极大似然估计
所以的极大似然估计为 《概率论与数理统计》期末试题(4)与解答 一、填空题(每小题3分,共15分)
(1) 设,,,则至少发生一个的概率为 (2) 设服从泊松分布,若,则 (3) 设随机变量的概率密度函数为 今对进行8 独立观测,以表示观测值大于1的观测次数,则 (4) 的指数分布,由5个这种元件串联而组成的系统,能够 正常工作100小时以上的概率为 (5) 设测量零件的长度产生的误差服从正态分布,今随机地测量
16 ,. 在置信度0.95下,的置信区间为
得 (2) 故 . 解:(1) (3),其
中 . (4)设第件元件的寿命为,则求概率为 (5)的置信度下的置信区间
为 . 系统的寿命为,
所以的置信区间为(). 二、单项选择题(下列各题中每题只有一个答案是对的,请将其代号填入( ) 中,每小题3分,共15分) (1)是任意事件,在下列各式中,不成立的是 (A) (B)
(C) . . (D).
( ) (2)设是随机变量,其分布函数分别为,为使 是某一随机变
量的分布函数,在下列给定的各组数值 中应取 . (B). (C). (D). ( ) (3)设随机变量的分布
函数为,则的分布函数为 (A) (A). (B) . (D). ( ) (4)设随机变量的概率分布为 . 且满足,则的相关
系数为 (C) . (C). (D). ( ) 相互独立,根据切比 (5)设随机变量 雪
夫不等式有 (A)0. (B . (C). (D). ( ) 解:(1)(A):成立,(B): 应选(B) (A). (B) (2). 应选
(C) (3) 应选(D)
(4)的分布
为
,所以, 于是 . 应选(A) (5) 由切比雪夫不等式
应选(D) 三、(8分)在一天中进入某超市的顾客人数服从参数为的泊松分布,而进入 超市的每一个人购买种商品的概率为,若顾
客购买商品是相互独立的, 求一天中恰有个顾客购买种商品的概率。 解:设‘一天中恰有个顾客购买种商品’ ‘一天中有个顾客
进入超市’ 则
四、(10分)设考生的外语成绩(百分制)服从正态分布,平均成绩(即参 数之值)为72分,96以上的人占考生总数的2.3%,今任取100个考生 的成绩,以表示成绩在60分至84分之间的人数,求(1)的分布列.
(2) 和. 解:(1),其中
由 得
所以 故的分布列为 (2),. 五、(10分)设在由直线及曲线y 上服从均匀分布, (1)求边缘密度和,并说明与是否独立. (2)求. 解:区域D的面积 的概率密
度为 所围成的区域
(1)
(2)因,所以不独立.
(3) . 六、(8分)二维随机变量在以为顶点的三角形区 域上服从均匀分布,求的概
率密度。 设的概率密度为,则 当 或时 当 时 所以的密度为
解2:分布函数法,设的分布函数为,则
故的密度为 七、(9分)已知分子运动的速度具有概率密度 为的简单随 机样本 (1)求未知参数的矩估计和极大似然估计; (2)验
证所求得的矩估计是否为的无偏估计。 解:(1)先求矩估计
再求极大似然估计
得的极大似然估计 (2)对矩估计
是的无偏估计 所以矩估计 八、(5分)一工人负责台同样机床的维修,这台机床自左到右排在一条直 线上,相邻两台机床的距离为(米)。假设每台机床发生故障的概率均为 ,且相互独立,若
表示工人修完一台后到另一台需要检修的机床所走 的路程,求 解:设从左到右的顺序将机床编号为 为已经修完的机器编号,表示
将要去修的机床号码,则
于是
《概率论与数理统计》试题(5) 一、 判断题(每小题3分,本题共15分。正确打“√”,错误打“×”) ⑴ 设A、B是Ω中的随机事件,必有P(A-B)=P(A)-P(B) ( ) ⑵ 设A、B是Ω中的随机事件,则A∪B=A∪AB∪B ( ) ⑶ 若X服从二项分布b(k;n,p), 则EX=p ( ⑷ 样本均
值= 是母体均值EX的一致估计 ( ) ⑸ X~N(,) , Y~N(,) ,则 X-Y~N(0, )
( ) 二、 计算(10分) (1)教室里有个学生,求他们的生日都不相同的概率; (2)房间里有四个人,求至少两个人的生日在
同一个月的概率 三、(10分) 设,证明、互不相容与、 立 四、(15分)某地抽样结果表明,考生的外语成绩 绩(即参数之值)为72分,96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。分布表如下 x 0 1 1.5 2 2.5 Ф(x) 0.5 0.841 0.933 0.977
0.994 0.999 五、(15分) 设的概率密度为
问是否独立? 六、(20分)设随机变量服从几何分布,其分布列为 , 求与 七、(15分)设总体服从指数分布 试利用样本,求参数的极大似然估计 八 《概率论与数理统计》试题(5)评分标准 一 ⑴ ×;⑵ √;⑶ ×;⑷ √;⑸ ×。 二 解 (1)设‘他们的生日都不相同’,则 ----------------------------------------------------------5分
(2)设‘至少有两个人的生日在同一个月’,
则 ; 或 -------------------------------------------10分 三 证 若、互不相容,则,于是 所以 、不相互独立.-----------------------------------------------------------5分 若、相互独立,则,于是, 即、不是互不相容的.--------------------------------------------------------------5分 四 解 -------------------------3分 -------------------------------------7分 所求概率为 分 =2Ф(1)-1=2×0.841-1=0.682--------------------15分 五 解 边际密度为
---5分 ---------------------------------------------------------10分 因为 独立.-----------------------------------15分 ,所以 六 解1 --8分 其中 由函数的幂级数展开有 所
以 , 因为 所以
--------------------------------12分
-----16分 ------------------------------------20分
七 解
-----------------------------------------------------------8分 由极大似然估计的定义,的极大似然估计为---------------------------15分 《概率论与数理统计》试题(6) 一、 判断题(本题共15分,每小题3分。正确打“√”,错误打“×”) ⑴ 设A、B是Ω中的随机事件,则A-BA ( )
⑵ 对任意事件A与B,则有P(A∪B)=P(A)+P(B) ( ) ⑶ 若X服从二项分布b(k;n,p),则EX=npq
( ⑷ X~ N(, 2 ),X1 ,X 2 ,??Xn是X的样本,则~ N(, 2 ) () ⑸X为随机变量,则DX=Cov(X,X)----------------------------------------------( ) 二、(10分)一袋中装有枚正品硬币,枚次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽)从袋中任取一枚,已知将它投掷次,每次都得到国徽,问这枚硬币是正品的概率是多少?. 三、(15分)在平面上画出等距离 的针,求针与任一平行线相交的概率 四、(15分) 从学校到火车站的途中有3 相互独立的,并且概率都是分布函数和数学期望. 五、(15分)设二维随机变量(,)在圆域x2+y2≤a2上服从均匀分布,(1)求和 的相关系数;
(2)问是否独立? 六、(10分)若随机变量序
列 ,设为途中遇到红灯的次数,求随机变量的分布律、 满足条件 试证明服从大数定律 七、(10分) 设 是来自总体的一个样本, 是 个估计量,若且 试证是的相合(一致)估计量。 八、(10分)某种零件的尺寸标准差为σ=5.2,对一批这类零件检查9件得平均尺寸数据(毫米):=26.56,设零件尺寸服从正态分布,问这批零件的平均尺寸能否认为是26毫米().正态分布表如下 x 0 1.56 1.96
2.33 Ф(x) 0.5 0.941 0.975 0.99 0.999 《概率论与数理统计》试题(6)评分标准 一 ⑴ √;⑵ ×;⑶
×;⑷ ×;⑸ √。 二解 设‘任取一枚硬币掷次得个国徽’,
‘任取一枚硬币是正品’, 则 所求概率
为 ,----------------------------------------------------------5
分
.------------------10分 三 解 设‘针与某平行线相交’,针落在平面上的情况不外乎图中的几种, 设为针的中点
到最近的一条平行线的距离。 为针与平行线的夹角,
则 ,不等式确定了平面上 的一个区域.------------------------------------6分 发生, 不等式确定的子域------------------------10分
故
-----------------------------------------------------15分 四 解 即 ,分布律为 -----------------------5分 的分布函数为 ------------------有所不同-----------------10分 ---------------------------------------------------15分 五. 解 的密度为 -------------------------------------------3分 (1)
(2)关于的边缘密度为 故 的相关系
数.----------------------------------------------------------9分 关于的边缘密度的 因为,所以不独
立.------------------------------------15分 六 证:由契贝
晓夫不等式,对任意的有 所以对任意的 ---------5分 故服从大数定律。----------------------------------------------------------------------10分 七 证 由契贝晓夫不等式,对任意的有 -------------------------------------------------------5分 于是 即 依概率收敛于,故是的相合估计。--------------------------------------10分 八 解 问题是在已知的条件下检验假设:=26 查正态分布表,1 =1.96---------------5分 1u1=1.08< 应当接受,即这批零件的平均尺寸应认为是26毫米。---------------15分 数理统计练习 一、填空题 1、设A、B为随机事件,且(A)=0.5,(B)=0.6,,则(A+B)=__ _ 2 ,则此射手的命中率 。 3、设随机变量服从[0,2]上均匀分布,则 。 4、设随机变量服从参数为的泊松()分布,且已知=1,则_____。 5、一次试验的成功率为,进行100次独立重复试验,当_____时 为 。 6、
(,)服从二维正态分布,则的边缘分布为。 7、已知随机向量(, , ()= 。 8、随机变量的数学期望,方差,、为常数,则有= ;= 。 9、若随机变量~ (-2,4),~ (3,9),且与相互独立。设=2-+5,则~ 。 的两个 估计量,若,则称比有效。 10、 1、设、为随机事件,且()=0.4, ()=0.3,(∪)=0.6,则()=_ _ 。 2、设,,且{ 1}=,则{ 1}= 。 3、设随机变量服从参数为2的泊松分布,且 =3-2 则()= 。 4、设随机变量服从[0,2]上的均匀
分布,=2+1,则()= 。 5、设随机变量的概率密度
是: ,且 ,则= 。 6、利用正态分布的结论,有 。 数理统计练习 一、填空题 1、设A、B为随机事件,且(A)=0.5,(B)=0.6,
)=0.8,则(A+B)=__ 0.7 __。 2 ,则此射手的命中率。
3、设随机变量服从[0,2]上均匀分布,则 1/3 。 4、设随机变量服从参数为的泊松()分布,且已知=1,则___1____。 5、一次试验的成功率为,进行100次独立重复试验,当1/2_____时 大值为 25 。 6、(,)服从二维正态分布,则的边缘分布为 。 7、已知随机向量(, ()=。 8、随机变量的数学期望,方差,、为常数,则 = =。 9、若随机变量~ (-2,4),~ (3,9),且与相互独立。设=2-+5,则~ N(-2, 25) 。 的两个 无偏 估计量,若,则称比有效。 10、 1、设、为随机事件,且()=0.4, ()=0.3,(∪)=0.6,则()=_0.3__。 2、设,
,且{ 1}=,则{ 1}=。 3、设随机变量服从参数为2的泊松分布,且 =3-2 则()=4 。 4、设随机变量服从[0,2]上的均匀分
布,=2+1,则()= 4/3 。 5、设随机变量的概率密度
是: ,且 ,则=0.6 。 6、利用正态分布的结论,有 1 。 7、若随机变量~ (1,4),~ (2,9),且与相互独立。设=-+3,则~ 。 1、设A,B为随机事件,且(A)=0.7,(A-B)=0.3,则 。 2、四个人独立地破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为,则密码能被译出的概率是 。 3、射手独立射击8次,每次中靶的概率是0.6,那么恰好中靶3次的概率是 。 4、已知随机变量服从[0, 2]上的均匀分布,则 ()= 。 5、设随机变量X服从参数为
的泊松分布,且,则= 。 6、设随机变量~ (1, 4),已知
Φ(0.5)=0.6915,Φ(1.5)=0.9332,则 。 7、随机变量的概率密度函数 ,则()= 。 8、已知总
体~ (0, 1),设1,2,?,是来自总体 2 ~ 。 1、设A,B为随机事件,且(A)=0.6, (AB)= (), 则
()= 0.4 。 2、设随机变量与 ,则
(=)=_ 。 3、设随机变量服从以, 为参数的二项分布,且
=15,=10,则= 。 4、设随机变
量 ,则= 。 5、设随机变量的数学期望和方差>0都存在,令 ,则Y= 。 6、设随机变量服从区间[0,5]上的均匀分布,服从的指数分布,且,相互独立,则(, )的 联合密度函数。 7、随机变量与相互独立,且()=4,()=2,则(3-2)= 。 9 是 。 7、若随机变量~ (1,4),~ (2,9),且与相互独立。设=-+3,则~ 。 1、设A,B为随机事件,且(A)=0.7,(A-B)=0.3,则0.6 。 ,则目标能被击中的概率 2、四个人独立地破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为,则密码能被译出的概率是 11/24 。 3、射手独立射击8次,每次中靶的概率是0.6,那么恰好中靶3次的概率是。 4、已知随机变量服从[0, 2]上的均匀分布,则 ()= 1/3 。 5、设随机变量X服从参数为的泊松分布,且,则= 6 。 6、设随机变量~ (1, 4),已知Φ(0.5)=0.6915,Φ(1.5)=0.9332,则 0.6247 。 7、随机变量的概率密度函数 ,则()= 1 。 8、已知总
体~ (0, 1),设1,2,?,是来自总体 ~。 1、设A,B为随机事件,且(A)=0.6, (AB)= (), 则()=
0.4 。 2、设随机变量与 ,则(=)=_ 0.5_。 3、设随机变量服从以, 为参数的二项分布,且=15,=10,则= 45 。 4、设随机变量 ,则= 2 。 5、设随机变量的数学期望和方差>0都存在,令 ,则Y= 1 。 6、设随机变量服从区间[0,5]上的均匀分布,服从的指数分布,且,相互独立,则(, ) 合密度函数 (, )= 。 7、随机变量与相互独立,且()=4,()=2,则(3-2)= 44。 9、三个人独立地向某一目标进行射击,已知各人能击中的概率分别为 1、设A,B为两个随机事件,且P(A)=0.7, P(A-B)=0.3,则_ ,则目标能被击中的概率
是3/5 。 2、设随机变量 }的分布律为 。 ,且与独立同分布,则随机变量=max{, 3、设随机变量~(2,),且{2 < <4}=0.3,则{< 0}=。 4、设随机变量 服从泊松分布,则= 。 5、已知随机变量的概率密度为,令,则的概率密度为 。 6、设是10次独立重复试验成功的次数,若每次试验成功的概率为0.4,则 。 7、1,2,?,是取自总体 ~。 9、称统计量的 估计量,如果=。 10、概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的,这个原理称为 。 1、设A、B为两个随机事件,若(A)=0.4,(B)=0.3,,则 。 2、设是10次独立重复试验成功的次数,若每次试验成功的概率为0.4,则 。 3、设随机变量~ (1/4,9),以表示对的5次独立重复观察中“”出现的次数,则= 。 4、已知随机变量服从参数为的泊松分布,且P(=2)=P(=4),则= 。 5、称统计量的无偏
估计量,如果= 。 6、设,且, 。 7、若随机变量~ (3,9),~ (-1,5),且与相互独立。设=-2+2,
则~ 。 8、已知随机向量(, )的联合概率密
度 ,则E= 1/3 。 9、已知总体是来自总体的样本,要检验 。 1、设A,B为两个随机事件,且P(A)=0.7, P(A-B)=0.3,则_0.6 2、设随机变
量 ,且与独立同分布,则随机变量=max{,}的分布律为 3、设随机变量~(2,),且{2 < <4}=0.3,则{< 0}= 4、设随机变量 服从泊松分布,则=。 5、已知随机变量的概率密度为,令,则的概率密度 。 6、设是10次独立重复试验成功的次数,若
每次试验成功的概率为0.4,则 2.4 。 7、1,2,?,是取自总体 ~。 8、已知随机向量(, )的联合概率密度,则E= 2/3 。 9、称统计量的 无偏 估计量,如果=。 10、概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的,这个原理称为 小概率事件原理。 1、设A、B为两个随机事件,若(A)=0.4,(B)=0.3,,则 0.3 。 2、设是10次独立重复试验成功的次数,若每次试验成功的概率为0.4,则。 3、设随机变量~ (1/4,9),以表示对的5次独立重复观察中“”出现的次数,则 5/16 。 4、已知随机变量服从参数为的泊松分布,且P(=2)=P(=4),则=。 5、称
统计量的无偏估计量,如果=θ 。 6、设,且,
t(n) 。 7、若随机变量~ (3,9),~ (-1,5),且与相互独立。设=-2+2,则~ N (7,29) 。 8、已知随机向量(, )的联合概率密度 ,则E= 1/3 。 9、已知总体是来自总体的样本,要检验 。 1、设A、B为两个随机事件,(A)=0.4, (B)=0.5,,则 。 2、设随机变量 ~ (5, 0.1),则 (1-2)= 。 3 ,则每次射击击中目标的概率
为 。 4、设随机变量的概率分布为,则的期望E= 。
6、设(, )的联合概率分布列为
若、相互独立,则= ,= 。 7、设随机变量服从[1,5]上的均匀分布,则 。 9、若是来自总体的样本,分别为样本均值和样本方差 ~ t (n-1) 。 的两个无偏估计量,若,则称比 10、 1、已知(A)=0.8,(A-B)=0.5,且A与B独立,则 (B) = 。 2、设随机变量~(1,4),且,则
= 。 3、随机变量与相互独立且同分布, ,,则
5、设随机变量~ (1,4),则= 。(已知,
) 6、若随机变量~ (0,4),~ (-1,5),且与相互
独立。设=+-3,则~ 。 1、设A、B为两个随机事件,(A)=0.4, (B)=0.5,,则 0.55 。 2、设随机变量 ~ (5, 0.1),则
(1-2)= 1.8 。 3 ,则每次射击击中目标的概率为
1/4 。 4、设随机变量的概率分布为,则的期望E= 2.3。
6、设(, )的联合概率分布列为
若、相互独立,则= 1/6 ,= 1/9 。 7、设随机变量服从[1,5]上的均匀分布,则 1/2 。 9、若是来自总体的样本,分别为样本均值和样本方差 ~ t (n-1) 。 的两个无偏估计量,若,则称比。 10、 1、已知(A)=0.8,(A-B)=0.5,且A与B独立,则 (B) = 3/8 。 2、设随机变量~(1,4),且
,则= 1 。 3、随机变量与相互独立且同分
布, ,,则 。 5、设随机变量~ (1,4),则= 0.3753 。(已知,) 6、若随机变量~
(0,4),~ (-1,5),且与相互独立。设=+-3,则~ N (-4,9) 。 9、袋中有大小相同的红球4只,黑球3只,从中随机一次抽取2只,则此两球颜色不同的概率为 。 1设A、B为两个随机事件,(A)=0.8,(AB)=0.4,则(A-B)= 0.4 。 2、设是10次独立重复试验成功的次
数,若每次试验成功的概率为0.4,则 。 3、设随机变量的概率分布为
则 4、设随机变量的概率密度函
数 ,则= 。 5、袋中有大小相同的黑球7只,白球3 为,则 {=10}= 。 6、某人投篮,每次命中率为0.7,现独立投篮5次,恰好命中4次的概率
是 。 7、设随机变量的密度函
数 ,且,则= 。 9、设,且, 10、概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的,这个原理称为 小概率事件原理 。 9、袋中有大小相同的红球4只,黑球3只,从中随机一次抽取2只,则此两球颜色不同的概率为 4/7 。 1设A、B为两个随机事件,(A)=0.8,(AB)=0.4,则(A-B)= 0.4 。 2、设是10次独立重复试验成功的次数,若每次试验成功的概
率为0.4,则 2.4 。 3、设随机变量的概率分布为 则= 0.7 。 4、设随机变量的概率密度函
数 ,则 。 5、袋中
有大小相同的黑球7只,白球3 为,则 {=10}= 0.39*0.7 。
6、某人投篮,每次命中率为0.7,现独立投篮5次,恰好命中4次的概率是。 7、设随机变量的密度函数 ,且,则= -2 。 9、设,且, 10、概率很小的事件在一次试验中几
乎是不可能发生的,这个原理称为 小概率事件原理 。
1、随机事件A与B独立, 。 4、设表示10次独立重复射击命中
目标的次数,且每次命中率为0.4,则= _。
5、随机变量,则 。 6、四名射手独立地向一目标进行射击,已知各人能击中目标的概率分别为1/2、3/4、2/3、3/5 击中的概率是 。 7、一袋中有2个黑球和若干个白球,现有放回地摸球4
的个数是 。 ,则袋中白球
1、随机事件A与B独立, 0.4 。 4、设表示10次独立重复射击命
中目标的次数,且每次命中率为0.4,则。
5、随机变量,则 N(0,1) 。 6、四名射手独立地向一目标进行射击,已知各人能击中目标的概率分别为1/2、3/4、2/3、3/5 击中的概率是 59/60 。 7、一袋中有2个黑球和若干个白球,现有放回地摸球
4 的个数是 4 。 ,则袋中白球
二、选择题 1、设随机事件与互不相容,且,则( D )。 A. B. C. D. 2、将两封信随机地投入四个邮筒中,则未向前面两个邮
筒投信的概率为( A )。 A. B. C. D. 1、设,为随机事件,,,则必有( A )。 A. B. C. D. 2、某人连续向一目标射击,每次命中目标的概率为,他
连续射击直到命中为止,则射击次数为3 是( C )。 A. B. C. D. 3、设是来自总体的一个简单随机样
本,则最有效的无偏估计是( A )。 A. B. C. D. 1、已知A、B、C为三个随机事件,则
A、B、C不都发生的事件为(A)。 A. B. C. ++ D. 2、下列各函数中是随机变量分布函数的为( B )。 B. A. C. D. 3、是二维随机
向量,与不等价的是( D ) A. B. C. D. 和 相互独立 1、若随机事件与相互独立,则=( B )。 A. B. C. D. 2、设总体的数学期望E=μ,方差D=σ,1,2,3,4是来自总体的简单
随机样本,则下列μ 计量中最有效的是( D )
4、设离散型随机变量的概率分布为 ,,则=( B )。 A. 1.8 B. 2 C. 2.2 D. 2.4 1、
若A与B对立事件,则下列错误的为( A )。 A. B. C. D. 2、下列事件运算关系正确的是( A )。 A. B. C. D. 4、若,则(D )。 A. 和相互独立 与不相关 C. 5、若随机向量()服从二维正态分布,则①一定相互独立; ② 若,则 独立;③和都服从一维正态分布;④若相互独立,则 Cov (, ) =0。几种说法中正确的是( B )。 A. ① ② ③ ④ B. ② ③ ④ C.
① ③ ④ D. ① ② ④ 1、设随机事件A、B互不相容,,则=
( C )。 A. B. C. D. 2、设,是两个随机事件,则下列等式中( C )是不正确的。 A. ,其中,相互独立 B. ,其中 C. ,其中,互不相容 D. ,其中 5、设是一组样本观测值,则
其标准差是( B )。 B. C. D. 1、若A、B相互独立,则下列式子成立的为( A )。 A. B. C. D. )。 2、若随机事件的概率分别为,,则与一定(D A. 相互对立 B. 相互独立 C. 互不相容 D.相容 1、对任意两个事件和, 若, 则( D )。 A. B. C. D. 2、设、
为两个随机事件,且,, , 则必有( B )。 A. B. C. D. 互不相容 4、已知随机变量和相互独立,且它们分别在区间[-1,3]和[2,4]上服从均匀分布,则( A )。 A. 3 B. 6 5、设随机变量~(μ,9),~(μ,25),记,则( B )。 A. 1<2 B. 1=2 C. 1>2 D. 1与2的关系无法确定 1、
设两个随机事件相互独立,当同时发生时,必有发生,则( A )。 A. B. C. D. 3、两个独立随机变量,则下列不成立的是( C )。
A. B. C. D. 1、若事件两两独立,则下列结论成立的是
( B )。 A. 相互独立 B. 两两独立 D. 相互独
立 C. 2、连续型随机变量的密度函数()必满足条件( C )。 4、设随机变量, 相互独立,且均服从[0,1]上的均匀分布,则服从均匀分布的是( B )。 A. B. (, ) C. — D. + 三(1)、已知5%的男性和0.25% 盲者的概率。 设A:表示此人是男性; B:表示此人是色盲。 则所求的概率为 答:
此人恰好是色盲的概率为0.02625。
三(2)、已知5%的男性和0.25% 盲,问此人是男性的概率。 设A:表示此人是男性; B:表示此人是色盲。 则
所求的概率为
答:此人是男人的概率为0.4878。 。 三(3)、一袋中装有10个球,其中3个白球,7 二次取得白球的概率。 解 设表示表示第次取得白球,=1,2。 则所求事件的概率
为 答:第二次取得白球的概率为3/10。
三(4)、一袋中装有10个球,其中3个白球,7 二次取得白球,则第
一次也是白球的概率。 解 设表示表示第次取得白球,=1,2 。 则所求事件的概率为 答:第二次摸得白球,第一次取得也是白球的概率为2/9。 三(5)、 相等,且第一、第二、第三厂家的次品率依次为2%,2%,4%。若在市场上随机购买
一件商品为次品,问该件商品是第一厂家生产的概率为多少? 解 设表示产品由第家厂家提供,=1, 2, 3;B表示此产品为次品。 则所求事件的概率为 答:该件商品是第一产家生产的概率为0.4。 三(6)、甲、乙、丙三车间加工
同一产品,加工量分别占总量的25%、35%、40%,次品率分别为0.03、0.02
0.01。现从所有的产品中抽取一个产品,试求(1)该产品是次品的概率;(2)若检查结果显示该产品是次品,则该产品是乙车间生产的概率是多少? 解:设,,表示甲乙丙三车间
加工的产品,B表示此产品是次品。 (1)所求事件的概率为 (2) 答:这件产品是次品的 概率为0.0185,若此件产品是次品,则该产品是乙车间生产的概率为0.38。 三(7)、一个机床有1/3的时间加工零件A,其余时间加工零件B。加工零件A时停机的概率是0.3 件A时停机的概率是0.4。求(1)该机床停机的概率;(2)若该
机床已停机,求它是在加工零件A时发 生停机的概率。 解:设,,表示机床在加工零件A或B,D表示机床停机。 (1)机床停机夫的概率为 (2)机床停机时正加工零件A的概率为 三(8)、甲、乙、丙三台机床加工一批同一种零件,各机床加工的零件数量之比为5:3:2 零件合格率依次为94%,90%,95%。现从加工好的整
批零件中随机抽查一个,发现是废品,判断它是由甲机床加工的概率。 解 设,,表示由甲乙丙三机床加工,B表示此产品为废品。(2分) 则所求事件的概率为 = 答:此废品是甲机床加工概率为3/7。 三(9)、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具,其概率分别为5%、15%、30%、50 乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100%、70%、60%、90%。已知该人误期到达,求他
是乘坐火车的概率。
(10分) 解:设,,,分别表示乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交
通工具,B表示误期到达。 则
答:此人乘坐火车的概率为0.209。 三(10)、某人外出可以乘坐飞
机、火车、轮船、汽车四种交通工具,其概率分别为5%、15%、30%、50 乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100%、70%、60%、90%。求该人如期到达的概率。 解:设,,,分别表示乘坐飞机、火车、轮
船、汽车四种交通工具,B表示如期到达。
(完整word版)大学概率论与数理统计必过复习资料及试题解析(绝对好用)
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