1高考数学课标文数一轮复习讲义+提能作业：第二章第二节 函数的单调性与最值 含解析

第二节 函数的单调性与最值

理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义:

增函数

减函数

一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2

定义 当x1

当x1f(x2) ,那么就说函数f(x)在区间D上是单调减函数

图象 描述

自左向右看图象是③ 上升的 (2)单调区间的定义:

若函数f(x)在区间D上是⑤ 单调增函数或单调减函数 ,则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.

?提醒 (1)求函数的单调区间或讨论函数的单调性必须先求函数的定义域. (2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接.

(3)“函数的单调区间M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念,显然N?M.

自左向右看图象是④ 下降的

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2.函数的最值

前提 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足

(1)对于任意的x∈I,都有⑥ f(x)≤M ; 条件 (2)存在x0∈I,使得

⑦ f(x0)=M 结论 M为函数y=f(x)的最大值 知识拓展

1.单调性定义的等价形式

设任意x1,x2∈[a,b],x1≠x2. (1)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0或(2)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0或2.复合函数的单调性

函数y=f(u),u=φ(x),在函数y=f(φ(x))的定义域上,如果y=f(u),u=φ(x)的单调性相同,那么y=f(φ(x))单调递增;如果y=f(u),u=φ(x)的单调性相反,那么y=f(φ(x))单调递减.

3.函数单调性的常用结论

(1)若f(x),g(x)均为区间A上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函数. (2)若k>0,则kf(x)与f(x)的单调性相同,若k<0,则kf(x)与f(x)的单调性相反. (3)函数y=f(x)(f(x)>0)与y=-f(x),y=??(??)在公共定义域内的单调性相反. (4)函数y=f(x)(f(x)≥0)与y=√??(??)在公共定义域内的单调性相同.

1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“?”).

(1)函数y=??的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).( )

(2)函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,则函数f(x)的单调递增区间为[a,b].( ) (3)若f(x)是增函数,g(x)是增函数,则f(x)·g(x)也是增函数.( )

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1

1

??(??1)-f(??2)??1-??2??1-??2??(??1)-f(??2)

(1)对于任意的x∈I,都有⑧ f(x)≥M ; (2)存在x0∈I,使得⑨ f(x0)=M M为函数y=f(x)的最小值

>0,则f(x)在闭区间[a,b]上是增函数. <0,则f(x)在闭区间[a,b]上是减函数

(4)所有的单调函数都有最值.( )

(5)已知函数y=f(x)在R上是增函数,则函数y=f(-x)在R上是减函数.( ) 答案 (1)? (2)? (3)? (4)? (5)√

2.下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是( ) A.f(x)=3-x B.f(x)=x2-3x C.f(x)=-??+1 D.f(x)=-|x| 答案 C

3.函数f(x)=|x-2|x的单调减区间是( ) A.[1,2] B.[-1,0] C.[0,2] D.[2,+∞) 答案 A

4.若函数y=x2-2ax+1在(-∞,2]上是减函数,则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,-2] C.[2,+∞) 答案 C

5.若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是( ) A.2 B.-2 C.2或-2 答案 C

6.(教材习题改编)已知函数f(x)=??-1,x∈[2,6],则f(x)的最大值为 ,最小值为 . 答案 2;5

确定函数的单调性(区间)

典例1 (1)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是( ) A.(-∞,-2) B.(-∞,1)

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2

2

1

B.[-2,+∞) D.(-∞,2]

D.0

C.(1,+∞) D.(4,+∞)

(2)下列函数中,满足“?x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0”的是( ) A.f(x)=2x B.f(x)=|x-1| C.f(x)=??-x D.f(x)=ln(x+1)

(3)判断函数f(x)=x+??(a>0)在(0,+∞)上的单调性. 答案 (1)D (2)C

解析 (1)由x2-2x-8>0,得x>4或x<-2.因此,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的定义域是(-∞,-2)∪(4,+∞).注意到函数y=x2-2x-8在(4,+∞)上单调递增,由复合函数的单调性知,f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(4,+∞).

(3)设x1,x2是任意两个正数,且x1

1

2

12

1

??

??????-??

00,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在(0,√??]上是减函数;

当√??≤x1a,x1-x2<0,

所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)0)在(0,√??]上是减函数,在[√??,+∞)上是增函数. 方法技巧

1.求函数单调区间的常用方法

(1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间. (2)定义法,先求定义域,再利用单调性的定义求解.

(3)图象法,如果f(x)是以图象形式给出的,或f(x)的图象易作出,那么可由图象的直观性写出函数的单调区间.

(4)导数法,利用导数取值的正负确定函数的单调区间. 2.求复合函数y=f(g(x))的单调区间的步骤

(1)确定函数的定义域.

(2)将复合函数分解成基本初等函数y=f(u),u=g(x).

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??

(3)分别确定这两个函数的单调区间.

(4)若这两个函数同增同减,则y=f(g(x))为增函数;若一增一减,则y=f(g(x))为减函数,即“同增异减”.

1-1 函数f(x)=1-??在( )

A.(-∞,1)∪(1,+∞)上是增函数 B.(-∞,1)∪(1,+∞)上是减函数 C.(-∞,1)和(1,+∞)上是增函数 D.(-∞,1)和(1,+∞)上是减函数 答案 C

1-2 判断函数f(x)=2x-√4-??在(-∞,4]上的单调性.

解析 y=2x在(-∞,4]上单调递增,y=-√4-??在(-∞,4]上单调递增, 所以函数f(x)=2x-√4-??在(-∞,4]上单调递增.

1-3 求函数f(x)=-x2+2|x|+1的单调区间. 解析 易知

-??2+2x+1,x≥0,-(??-1)2+2,x≥0,f(x)={2={

-??-2x+1,x<0-(??+1)2+2,x<0.

画出函数图象如图所示,可知f(x)的单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1], 单调递减区间为(-1,0)和(1,+∞).

??

函数单调性的应用

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